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1、第二章 逻辑代数基础,2.1 概述 2.2 逻辑代数中的三种基本运算 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.4 逻辑代数的基本定理 2.5 逻辑函数及其表示方法 2.6 逻辑函数的化简方法 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简,2.1 概述,事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。,逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有和两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。,逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，
2、即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。,逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,一、三种基本逻辑关系和运算,与逻辑真值表,与逻辑关系表 （功能表）,开关A,开关B,灯F,断 断 断 合 合 断,合 合,灭 灭 灭,亮,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,0,真值表特点：全“1”得“1”,有“0”得“0”,一、三种基本逻辑关系和运算 、三种基本逻辑关系 （1）“与”逻辑,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,2.2 逻辑代数中
3、的三种基本运算,一、三种基本逻辑关系和运算 、三种基本逻辑关系 （2）“或”逻辑,或逻辑真值表,1,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,1,0,F= A + B+ .+ N,全“0”得“0” ,有“1”得“1”,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,一、三种基本逻辑关系和运算 、三种基本逻辑关系 （3）“非”逻辑,非逻辑真值表,A,F,0,1,1,0,1,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,一、三种基本逻辑关系和运算 、三种基本的逻辑运算,0 0=0 1=1 0=0,1 1=1,0+0=0,0+1=1+0=1+1=1,1=0 0=1,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复
4、合逻辑运算,“与”、“或”、“非”是三种基 本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都 可以以它们为基础表示。,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算 、“与非”逻辑,与非逻辑真值表,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算 2、“或非”逻辑,或非逻辑真值表,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算 3、“与或非”逻辑,与或非逻辑真值表,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算 4、“异或”逻辑,异或逻辑真值表,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,0,0,(1) A0=A,(3) AA=0,(2) A1=
5、A,(4) AA = 1,(5) AB =C;,A C = B;,B C = A,公式:,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算 4、“异或”逻辑,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算 5、“同或”逻辑,同或逻辑真值表,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,1,(2) A 1 = A,(3) A A = 1,(1) A 0 = A,(4) A A = 0,(5) A B = C;,AB= (AB),(1)互为反函数,(2)互为对偶式,A C = B;,B C = A,AB与AB互为对偶式,公式：,同或与异或运算的关系：,2.2 逻
6、辑代数中的三种基本运算,二、几种常见的复合逻辑运算 5、“同或”逻辑,2.2完,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2.3.1 基本公式,2.3.2 若干常用公式,逻辑关系将逻辑变量A、B、C、.连接起来，,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,1、逻辑代数：,与普通代数不同的是，,用有限个与、或、非逻辑运算符，,按某种,所得的表达式,称为逻辑代数。,记为,注意：,没有数量的含义。,在逻辑代数中，,不管是变,量还是函数，,其取值都只能是0或1，,并且这里的0和1只表,示两种不同的状态，,有非运算符的叫做反变量。,在逻辑代数中，,等式右边的字母A、B、C等称为输,入逻辑变量，,等式左边的字母Y
7、称为输出逻辑变量，,字母,右侧没有非运算符的叫做原变量，,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2、逻辑函数相等的概念：,它们的输入变量都是A、B、C、，,看看它们的真值表是否相同即可。,设有两个逻辑函数,则称Y1和Y2是相等，,如果对应于变量,A、B、C、的任何一组变量取值，,Y1和Y2的值都相同，,若两个逻辑函数相等，,则它们的真值表一定相同；,反,之，,若两个函数的真值表完全相同，,则这两个函数一定,相等。,因此，,要证明两个逻辑函数是否相等，,只要分别,列出它们的真值表，,记为Y1=Y2。,A B,(AB),A+ B,A B,(A+B),1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,
8、1,0,0,0, (AB)= A+B (A+ B)=AB,证明等式,(AB)= A+B (A+ B)=AB,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式,1、0、1律,A 0 = 0 与门有“0”得“0”，即与“0”是“0”； A + 1 = 1 或门有“1”得“1”，即或“1”是“1”。 例：,分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式,2、自等律,“与”1、“或”0是自身。,例：,A 1 = A A + 0 = A,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式,3、重叠律同一变量的运算规律
9、,A A = A A + A = A 显然 0 0 = 0 有“0”得“0”； 1 1 = 1 全“1”得“1”； 0 + 0 = 0 全“0”得“0”； 1 + 1 = 1 有“1”得“1”； 故 自身“或”、“与”是自身。,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式,4、互补律变量与它的反变量之间的运算规律,A = 0 与补是“0”, A不是“0”就是“1” 0 1 = 0 0 + 1 = 1,A + = 1 或补是“1”,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式,5、交换律,变量前后交换，等式不变。,A B = B A A + B = B + A,利用真
10、值表很容易证明这些公式的正确性。如证明AB=BA：,6、结合律,A ( B C ) = (A B ) C A + ( B + C ) = ( A + B ) + C,同级运算，变量自由结合，等式不变。,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式,7、分配律,A ( B + C ) = A B + A C A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ),与数学运算不同，不管是先“”后 “”还是先“”后“”都满足分配律。,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式,例： 用真值表证明A+BC=(A+B) (A+C) 。,可见，等式两边对应的真值表
11、相同，故等式成立。,证：,8、反演律 (狄 摩根 De Morgen定律),可用真值表证明。用在逻辑函数的化简和变换中。,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式,9、双重否定律（也称非非律、还原律） 一个变量经过两次求反运算之后还原为其本身。,否定的否定是肯定。,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式,10、吸收律,A + AB = A 证：A + AB = A ( 1 + B ) = A 在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。,A(A+B)=A 证：A(A+B)=AA+AB=A+AB=A 变量A和包含A的和相乘时，结果
12、等于A，即可以将和消掉。,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式,证：,(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC,分配律A(B+C)=AB+AC,=A+AB+AC+BC,重叠律AA=A,=A(1+B+C)+BC,分配律A(B+C)=AB+AC,=A+BC,0-1律A+1=1,例：用基本公式证明A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) 。,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.2 若干常用公式,证：,两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。,推论：,证：,两个乘积项相加时，若它们分别包括B和B， 而其他
13、因子相同，则两项定能合并，且可将B和B 两个因子消去。,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.2 若干常用公式,推论：,证：,与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子组成第三个乘积项，则第三项是多余的。,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.2 若干常用公式,证明：,推论（1）：,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.2 若干常用公式,推论（2）：,证：,当A与一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的 因子时，则A这个因子可以消去。,当A与一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的 因子时，则其结果为A。,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3
14、.2 若干常用公式,2.4 逻辑代数的基本定理 2.4.1 代入定理,定理：,证 :,左右，成立,任何一个含有变量A的等式中，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数式来代替，则等式仍然成立。,2.4 逻辑代数的基本定理 2.4.2 反演定理,规则：,那么得到的新函数式称为原函数式Y的反函数式,记为Y。,对于任意一个逻辑函数式Y，做如下处理：, 若把式中的运算符“”换成“+”, “+” 换成“”;, 常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；, 原变量换成反变量，反变量换成原变量, 保持原函数的运算次序：先括号，然后与，最后或， 必要时适当地加入括号。, 不属于单个变量上的非号有两种处理方法：,
15、非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。,将非号去掉，而非号下的函数式保留不变。,例1：,例2：,Y(A、B、C),其反函数为,或,2.4 逻辑代数的基本定理 2.4.3 对偶定理,对于任意一个逻辑函数，做如下处理：,1）若把式中的运算符“”换成“+”，“+”换成“”；,2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”,得到新函数式为原函数式F的对偶式FD，也称对偶函数。,如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若 F1 = F2 ,则F1D= F2D。使公式的数目增加一倍。,1）求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。,注意：,2）函数式中有“”和“”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“”， “”换成“”。,例：,则其对偶式,例：,证明：Y1D=Y2,证1：,2.4完,例：,证2：,2.5 逻辑函数及其表示方法,2.5.1 逻辑函数,2.5.2 逻辑函数的表示方法,2.5.3 逻辑函数的两种标准形式,2.5.4 逻辑函数形式的变换,2.5 逻辑函数及其表示方法 2.5.1 逻辑函数,定义： 若变量A、B、C的取值确定以后， 变量Y的值也唯一地确定了，那么就称Y 是A、B、C 的逻辑函数。 一般表达式为： YF(A、B、C、),2.5 逻辑函数及其表示方法 2.5.1
