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1、冯 西 桥 清华大学工程力学系 2007.10.17,第四章 应变理论 Theory of Strains,应变理论,位移和应变（小应变情况） 位移和应变（一般情况） 刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移,Chapter 4,位移和应变,Chapter 4.1,位移,位移和应变,Chapter 4.1,位移的描述 刚体位移：整个物体在空间做刚体运动引起的，包括平动和转动。,变形：物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置。 一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。,位移和应变,Chapter 4.1,位移,位移和应变,Chapt
2、er 4.1,位移,分量形式：,或,位移和应变,Chapter 4.1,单轴应变,F,位移和应变,Chapter 4.1,单轴应变,微元的长度变化：,Taylor 级数展开：,位移和应变,Chapter 4.1,单轴应变,略去高阶项：,单轴应变（工程应变）定义为：,位移和应变,应变分量 平行六面体(称为微元体),Chapter 4.1,应变分量,Chapter 4.1,位移和应变,Chapter 4.1,位移和应变,Chapter 4.1,正应变(相对伸长度),位移和应变,Chapter 4.1,切应变(剪应变),位移和应变,Chapter 4.1,工程剪应变,位移和应变,位移和应变,u,y,
3、x,由于位移是坐标值的连续函数，所以P点在x及y轴上的位移分量为u，v，则A点及B点的位移分量为,Chapter 4.1,位移和应变,A:,B:,A:,B:,按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而略去二阶以上的无穷小量，则得A点及B点的位移分量为,Chapter 4.1,位移和应变,Chapter 4.1,位移和应变,u,适用条件 ？,Chapter 4.1,位移和应变,小应变情况下，应变和位移的关系：,Chapter 4.1,几何方程,位移和应变,小应变情况下，应变和位移的关系：,Chapter 4.1,几何方程,位移和应变,小应变情况下，工程应变和位移的关系：,Chapter
4、 4.1,几何方程,位移和应变,应变理论,位移和应变（小应变情况） 位移和应变（一般情况） 刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移,Chapter 4,Chapter 4.2,拉格朗日坐标系（或随体坐标系、物质坐标系） 由变形前嵌入物体内的老坐标系随物体质点一起变形而得到的，所以在变形过程中，质点的坐标值始终保持不变。 在物体变形中一般变为曲线坐标系。 在固体力学中，大多采用拉格朗日坐标系。,位移和应变,Chapter 4.2,位移和应变,欧拉坐标系（或空间坐标系） 固定在空间点上的坐标系，其基矢量不随物体变形而变化。 在流体力学中，一般采用欧拉坐标系。,Chapter 4.2
5、,位移和应变,u,Chapter 4.2,P及P点的矢径分别为：,位移和应变,Chapter 4.2,根据变形后不开裂或重叠的基本假设，xi 和 ai 间应存在一一对应的互逆关系。 于是，以上两式的雅可比行列式应不为零，即,位移和应变,Chapter 4.2,位移和应变,Chapter 4.2,定义P点的位移矢量：,即,注: 弹性力学中，通常假定位移场足够光滑，存在三阶以上的连续偏导数。,位移和应变,位移,Chapter 4.2,描述物体位移的方法 拉格朗日描述法 欧拉描述法,位移和应变,Chapter 4.2,拉格朗日描述法 以物体变形前的初始构形B为参照构形，质点变形前的坐标 ai= (a
6、1, a2, a3) 为基本未知量。将变形后物体的位置 x 表示为 a1, a2, a3 的函数：,位移场 u 用初始坐标 ai 描述：,位移和应变,Chapter 4.2,欧拉描述法 以物体变形后的新构形 B 为参照构形，质点变形后的坐标 xi =(x1, x2, x3) 为基本未知量。将变形前物体的位置 a 表示为 x1, x2, x3 的函数：,位移和应变,位移场u用当前坐标 xi 描述：,变形的描述 考虑变形前的任意线元 ，其端点P(a1, a2, a3）及Q(a1+da1, a2+da2, a3+da3)的矢径分别为,Chapter 4.2,位移和应变,Chapter 4.2,变形后
7、，P、Q两点分别位移至P和Q，相应的矢径和线元为,位移和应变,Chapter 4.2,变形前后，线元 和 的长度平方为,位移和应变,Chapter 4.2,采用拉格朗日描述法，xm = xm(ai)， 则,注：一般记 ， 称为变形梯度张量,位移和应变,Chapter 4.2,位移和应变,Chapter 4.2,记,位移和应变,Chapter 4.2,根据商判则，E是二阶张量，称为格林应变张量。,位移和应变,Chapter 4.2,将上式改写为,求导,格林应变张量的位移分量表达式,位移和应变,Chapter 4.2,引进笛卡尔坐标系中位移梯度u和u,写成实体符号：,位移和应变,Chapter 4
8、.2,在笛卡尔坐标系中分量形式为,位移和应变,Chapter 4.2,用格林应变张量表示线元的长度变化 变形前， 长度比：,位移和应变,Chapter 4.2,长度比表示为：,位移和应变,其中：,Chapter 4.2,用格林应变张量表示线元方向的改变 变形后，线元方向为,位移和应变,利用 任意线元变形后的方向余弦可用位移表示成,位移和应变,Chapter 4.2,用格林应变表示线元间夹角余弦的变化,用格林应变表示线元间夹角余弦的变化 变形前的两个任意线元 和 ，其单位矢量分别为 v 和 t ，方向余弦分别为 vi 和 ti，夹角余弦为,Chapter 4.2,位移和应变,用格林应变表示线元间
9、夹角余弦的变化 变形后，其单位矢量分别为 v 和 t ，夹角余弦为,Chapter 4.2,位移和应变,Chapter 4.2,于是上式简化为,可知，应变张量给出了物体变形状态的全部信息 。,位移和应变,用格林应变表示线元间夹角余弦的变化,Chapter 4.2,以上介绍了拉格朗日描述法的推导过程和结果。类似地，若采用欧拉描述法将导出,称为阿尔曼西(Almansi, E.)应变张量,位移和应变,Chapter 4.2,上两式表明，若Eij 0，或eij 0，则dS = dS0。所以物体无变形（仅作刚体运动）的充分必要条件是应变张量Eij（或eij）处处为零。,位移和应变,Chapter 4.2
10、,Green应变张量：,长度比：,位移和应变,夹角变化：,Chapter 4.2,Green应变张量：,Almansi应变张量：,位移和应变,小应变张量：,Chapter 4.2,由小变形假设略去二阶小量,位移和应变,Chapter 4.2,在小变形情况下，格林应变张量和阿尔曼西应变张量简化为 ij 称为柯西应变张量或小应变张量。 实体形式为,位移和应变,Chapter 4.2,在笛卡尔坐标系中，应变位移关系或几何方程为,指标形式为:,位移和应变,Chapter 4.2,定义 为 方向线元的工程正应变.,位移和应变,Chapter 4.2,线元的转动,变形后线元的方向余弦：,位移和应变,Cha
11、pter 4.2,对变形前与坐标轴 a1 平行的线元有,位移和应变,变形后线元的方向余弦：,Chapter 4.2,变形后的单位矢量,位移和应变,Chapter 4.2,同理,上述两式说明，变形前与a2和 a3轴垂直的线元，变形后分别向a2和 a3轴旋转了 和 角。同理，沿a2和 a3轴的线元变形后也将发生转动。,位移和应变,位移和应变,Chapter 4.2,Chapter 4.2,两线元间的夹角变化,变形后，线元的夹角表示为,位移和应变,其中：,Chapter 4.2,略去二阶小量，可得 若变形前两线元互相垂直 令为变形后线元间直角的减小量，则,位移和应变,Chapter 4.2,工程剪应
12、变 定义为两正交线元间的直角减小量,若v, t为坐标轴方向的单位矢量，例如, vi=1, tj =1(ij),其余的方向余弦均为零，则由上式得,位移和应变,Chapter 4.2,位移和应变,小应变张量 e 的几何意义是：,当指标i=j 时， 表示沿坐标轴i方向的线元工程正应变，以伸长为正，缩短为负；,当指标(ij)时， 的两倍表示坐标轴 i 与 j 方向两个正交线元间的工程剪应变。以锐化（直角减小）为正，钝化（直角增加）为负。,Chapter 4.2,新老坐标中的应变张量分量 与 满足转轴公式 由此可根据应变分量 ij 求出任意方向的正应变和剪应变。因而小应变张量完全表征了一点的应变状态。,
13、位移和应变,应变张量在每点存在三个相互正交的主方向 设 v 为主方向的单位矢量，则按张量主方向的定义有 标量 称为应变张量的主值，即沿主方向 v 的主应变。 与主应力类似，主应变也具有实数性，正交性和极值性。,Chapter 4.2,位移和应变,Chapter 4.2,存在第一、第二和第三应变不变量,系数行列式为零,其中： 分别称为第一、第二和第三应变不变量。,位移和应变,Chapter 4.2,应变主轴沿每点应变主方向的坐标线 由应变主轴组成的正交曲线坐标系称为主应变坐标系。 最大工程剪应变发生在主平面内，其值为最大与最小主应变之差。 等倾线元正应变（又称八面体正应变）等于平均正应变0 。,
14、位移和应变,Chapter 4.2,八面体剪应变是等倾面法线与等倾面上任意线元间之剪应变的最大值。,位移和应变,Chapter 4.2,应变张量可分解为应变球量和应变偏量之和,即,称为球形应变张量，0 为平均正应变。,位移和应变,Chapter 4.2,将0ij代入上述两式可得 因此应变球量表示等向体积膨胀或收缩，它不产生形状畸变。,位移和应变,Chapter 4.2,称为应变偏量。,即应变偏量不产生体积变化，仅表示形状畸变。,位移和应变,Chapter 4.2,位移和应变,Chapter 4.2,于是可得,位移和应变,Chapter 4.2,纯变形,位移和应变,Chapter 4.2,常正应
15、变状态是纯变形的一例,位移和应变,Chapter 4.2,均匀变形状态,位移和应变,Chapter 4.2,直线在变形后仍为直线； 相同方向的直线以同样比例伸缩； 互相平行的直线变形后仍平行； 平面在变形后仍为平面； 平行平面变形后仍平行； 球面变形后成为椭球面。,位移和应变,应变理论,位移和应变 刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移 正交曲线坐标系中的几何方程,Chapter 4,Chapter 4.3,刚体转动,Chapter 4.3,由商判则可知，位移梯度u为一个二阶张量。,刚体转动,Chapter 4.3,将u分解成对称张量与反对称张量之和 对称部分即为小应变张量 ，定义反对称部分为, 称为转动张量,刚体转动,Chapter 4.3,代入,刚体转动,Chapter 4.3,由反对称张量的性质可知： 反对称张量只有三个独立分量12, 23和31,刚体转动,Chapter 4.3,转动矢量, 称为张量 的反偶矢量,刚体转动,Chapter 4.3,指标形式为：,(b),刚体转动,Chapter 4.3,刚体转动,Chapter 4.3,刚体转动,图3-8,刚体转动,Chapter 4.3,Chapter 4.3,对变形体来说，转动矢量 和转动张量 都是随点而异的。若考虑整个物体作刚体转动（0， =常数）的情况，则 这就是理论力学
