《2018版高中数学 专题06 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用特色训练 新人教A版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 专题06 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用特色训练 新人教A版选修1-1（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题06 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用一、解答题1【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（）求椭圆的标准方程；（）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。椭圆的标准方程为.（）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，
2、设，则，故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意2【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知离心率为的椭圆的一个焦点坐标为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，求的取值范围.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由离心率为，及一个焦点坐标为，求出基本量，可得椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量
3、数量积公式，即可求得的取值范围由由知；综上所述： .【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量知识的运用，以及分析解决问题的能力，其中灵活应用韦达定理是解题的关键3【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点， 是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线的斜率分别为，求的值.【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2）【解析】试题分析; （1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标；（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可 的值；
4、因为的重心的纵坐标为，所以，所以，所以，所以，又.所以.4【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若斜率为1的直线交双曲线于两点，线段的中点的横坐标为，求直线的方程.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析: （1）利用双曲线 与椭圆有公共焦点，且离心率为.，求出基本量，即可求双曲线的方程；（2）设直线的方程为，与双曲线的方程联立，结合弦长公式，即可求方程， ，.直线方程为.5已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2（）求椭圆的方程；（）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，求证： 为定值
5、【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：（）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明. 方法一：因为，所以. 同理，且与异号， 所以 . 所以， 为定值. 当时，同理可得. 所以， 为定值.方法三：由题意直线过点，设方程为 ， 将代人得点坐标为， 由 消元得， 设， ，则且， 因为，所以. 又当直线与轴重合时， ， 所以， 为定值.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设
6、为 ，可减少讨论该直线是否存在斜率.6【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】已知双曲线： （）的离心率为，虚轴长为（1）求双曲线的标准方程；（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点， 为坐标原点，求的面积【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由题意得，解出a,b,c即可得到双曲线的方程；（2）根据条件得到直线的方程为，将此方程与双曲线方程联立，运用代数方法求得弦长及原点到直线的距离d，可求得三角形的面积。试题解析：(1)依题意可得，解得，双曲线的标准方程为又原点到直线的距离为，。点睛：双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题解决这类问题的常用方法是设出
7、直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则弦长|AB|x1x2|。7【江苏省清江中学2017-2018学年高二上学期期中】某奥运会主体育场的简化钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，我们称这两个椭圆相似。（1）已知椭圆，写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（2）从外层椭圆顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为+=1
8、(ab0)，AC与BD的斜率之积为，求椭圆的离心率。【答案】（1）；（2）试题解析：（1）椭圆的方程为： 设直线的方程为，由消去y整理得所以直线的方程为，由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数解， 所以，解得或（舍去）。所以实数的取值范围为。（2）设外层的椭圆的方程为，设切线的方程为,由消去y整理得直线与椭圆相切， 即椭圆的离心率为。点睛：（1）本题以新定义的形式考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系，对于直线和椭圆位置关系的考查体现在用方程的方法去解题，注意“设而不求”、一元二次方程的判别式、根与系数关系的运用。（2）解析几何中的对称问题一般要涉及到垂直和平分两个
9、方面的内容，如在本题中根据M,N关于直线对称可设直线的方程为（垂直），再根据的中点在直线上（平分）可消去参数，以达到求解的目的。8【河北省唐山市一中2017-2018学年上学期高二期中考】已知抛物线和直线， 为坐标原点 (1)求证： 与必有两交点； (2)设与交于两点，且直线和斜率之和为，求的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：把直线方程和抛物线方程联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明与必有两交点，只需证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A、B的坐标，根据直线和斜率之和为，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把代入化为的关系，把根与系数关系代入后求出斜
10、率的值【点睛】证明与必有两交点，只需联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A、B的坐标，根据直线和斜率之和为，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把代入化为的关系，把根与系数关系代入后求出斜率的值9【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】设抛物线： ， 为的焦点，过的直线与相交于两点.（1）设的斜率为1，求；（2）求证： 是一个定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数
11、的关系、向量的数量积即可得出；试题解析：(1)解：由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，直线的方程为设，由得，由直线过焦点，则.是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.10【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C: 的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.【答案】(1) ,(2) O到直线 的距离为定值.【解析】试题分析：
12、（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；试题解析：(1)由右焦点为(,0),则 ,又离心率为,所以 , ，则 (2) 设 , ,若k存在,则设直线AB:y=kx+m. 得 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法设而不求，套用公式解决11【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知圆，圆心为，定点， 为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足（）求点的轨迹的方程；（）为坐标原点， 是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不
13、同的两点当且满足时，求面积的取值范围【答案】（）；（） .【解析】试题分析：（）分析题意可得点满足的几何条件，根据椭圆的定义可得轨迹，从而可求得轨迹方程；（）先由直线与相切得到，将直线方程与椭圆方程联立，并结合一元二次方程根与系数的关系可得，由且，进一步得到k的范围，最后根据三角形面积公式并结合函数的单调性求的取值范围。试题解析：（）为线段中点为线段的中垂线（）圆与直线相切，即，由，消去.直线与椭圆交于两个不同点，将代入上式，可得，设， ，则， ， ， ，故面积的取值范围为。点睛：解决解析几何综合题时一般会涉及到复杂的运算，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的“设而不求”、“整体代换”的方法，以简化计算。另外，对于解析几何中的范围、最值的问题，要结合函数的性质求解或利用基本不等式求解。12【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E: 经过点P(2,1)，且离心率为（）求椭圆的标准方程；（）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，2）.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再
