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1、IIR数字滤波器的设计方法,1、基本概念 2、最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前系统 3、全通系统 4、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的映射方法：冲激响应不变法、双线性变换法 5、实例：用巴特沃思或切比雪夫低通滤波设计低通、带通、高通、带阻等数字滤波器,6.1基本概念,数字滤波器是线性移不变离散时间系统 1、数字滤波器设计内容： （1）根据要求确定滤波器的性能要求； （2）用因果稳定的离散线性移不变的系统函数逼近其性能要求（包括IIR和FIR系统函数）； （3）用算法实现该系统函数（包括选择运算结构、字长、有效数字的处理等）； （4）实际的技术实现（软件或硬件等） 本课程主要讨论性能
2、逼近或系统函数的设计。,2、描述滤波器的基本参数,见图6-2 (1)谱带:在滤波器的幅值频谱中，有通带、阻带和过渡带之分 通带：以带内的幅值大小来表示，幅值较大或接近最大值的带为通带 阻带：幅值较小或接近最小值的带为阻带 过渡带：在通带和阻带之间变化的带为过渡带,(2)容限:在各带内的幅值可波动，但不能超过允许的限度。该容许的波动量或系数是容限 可用容限和衰减系数表示 通带和阻带的容限分别为a1、a2； 通带和阻带的衰减系数用分贝表示 1=-20lg(1-a1)，2=-20lg(a2) (1-a1)是通带的最小幅值，a2是阻带的最大幅值,3、数字滤波器按频率特性分低通、高通、带通、带阻、全通等
3、。其理想幅频响应-,或0,2图6.1,4、频率换算关系 采样频率为fs，数字滤波器设计中的各频率f换算为数字角频率=2f/fs 根据奈奎斯特定理，滤波器的频率特性只能限于|s/2= 也称为折叠频率,5、数字滤波器的三个参量 系统函数是H(z)，z平面单位圆上的频响是 H(ejw) 频率特性参量：幅(度平方)频响应,相频特性,群延时响应 (1)幅度平方响应(意义) 单位冲击响应是实数,H(z)和H*(z)满足共轭对称条件,则 若z是H(z)的极点,则1/z是H*(z)的极点,必存在;其零极点是共轭对称的，且以单位圆为镜像对称,系统函数零极点的选取： 为使H(z)是可实现的(收敛)系统，只取单位圆
4、内的极点作为H(z)极点；而零点可在z平面的任意位置，故只取单位圆内的极点作为H(z)的极点。 如果选z平面单位圆内的零点为H(z)H*(z)的零点，则得最小相位延迟滤波器。,(2) 相位响应(意义),因 所以 （6.5） 又 又有 （6.6）,(3)群延迟响应,波Acos(wt=b)中，波的位置和状态参量是相位，幅值表征能量；群延时是滤波器平均延迟的度量，为相位对角频率的导数的负值 （6.7） 化为 （6.8） 因 所以,又有 （6.9） 同样可化为 （6.10） 注意：当滤波器为线性相位响应特性(相位与频率成比例)时，则通带内群延迟特性为常数。,IIR滤波器设计中的逼近问题(任务),IIR
5、系统函数(与FIR的区别) （6.11） IIR滤波器设计: 求出滤波器各系数ak、bk，使其在规定频率上逼近所要求的(幅、相)特性。 z平面上逼近就得数字滤波器，s平面上逼近就是模拟滤波器。,数字滤波器的设计方法： （1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足指标要求的数字滤波器。 (有现成的模拟滤波器及其公式，方便准确) （2）计算机辅助设计方法。 IIR的设计计算较复杂，不考试；但须掌握设计过程和方法,6.2最小或最大相位延时或超前系统(四种系统),任何线性时不变系统的系统函数为(cm,dK为复数) （6.12） 系统频率响应 （6.13）,对H(ejw)/K进行研究： 因h(n)是
6、实数序列，K为实数，只产生固定相位，不影响相频谱的分布特性。 H(ejw)/K的模 （6.14） 其相位(三部分) （6.15）,若mi、mo、pi、po为单位圆内外的零、极点数， 则 M=mi+mo，N=pi+po 说明零极矢量：零（极）矢是指零（极）点指向z平面单位圆上频率点的矢量。 (ejw=零极矢+cm或dk),零极点分布对相角的影响（对应四种特殊系统） (1)因果稳定系统的收敛域为单位圆内的一个圆的外部,故全部极点在单位圆内，pi=N，po=0 w从0到2p时，仅单位圆内零极点对相角有2p影响。故w变化2p时, Dw=2p，则辐角变化量 w增加时，辐角变化为负，称为相位延时系统。,(
7、a)当全部零点在单位圆内，mi=M，mo=0，有 其相位变化最小，称为最小相位系统。 (b)当全部零点在单位圆外，即mi=0，mo=M，有 这时相位变化最大，又是负数，即最大相位延时系统，仍然是因果稳定系统。,(2)逆因果(超前)稳定系统，极点全在单位圆外 pi=0，po=N 当w从0变到2p时，Dw=2p，则辐角变化量 一般NM，相位的变化是正数，称为相位超前系统。,(a)全部零点在单位圆内时，mi=M，mo=0，有 这时相位变化最大，称最大相位超前系统(逆因果稳定系统)。 (b)全部零点在单位圆外时，mi=0，mo=M， 有 =2(N-M) 这时相位超前最小，称最小相位超前系统(逆因果稳定
8、系统)。,表6.1 四种系统与其因果性、稳定性、零点、极点的关系。(略),最小相位系统很重要(通信和图象处理)，性质有 (1)H(ejw)相同的系统中，其负相位最大(相位最小) (2)最小相位系统能量集中在n=0附近。 (3)|H(ejw)|相同的各序列，最小相位序列的hmin(0)最大(脉冲信号的拖尾小，希望的)。 (4)在幅度响应|H(ejw)|相同的系统中，有唯一的最小相位延时系统。 (5)级联全通系统，将最小相位系统的零点反射到单位圆外，可构成幅度响应相同的非最小相位延时系统,6.3全通系统,（1）定义：系统频率响应的幅度在所有频率均为1(或某较大数)的系统 满足|Hap(ejw)|=
9、1的一阶全通系统为 （6.16） 式中a为实数 零极点如图6.3,高阶全通系统：由多个一阶系统组成(包含实零点/实极点一阶系统、复零点/复极点对一阶系统) 复零点/极点的全通节系统函数 （6.17） a为复数 零极点如图6.4,复零极点全通系统的特点: (1)零极点在共轭反演或以单位圆为镜的镜像位置 (2)h(n)是实数，复零点或极点以共轭对出现，其共轭零极点也是系统的零极点，必存在两个一阶全通节 (3)级联可组成二阶实系数全通子系统，其形式如下,N阶全通系统的频率响应的模都为1。 证明：N阶全通系统函数为(零极点及单位圆镜象对称决定) 式中 当z=ejw时，满足 D(ejw)=D*(e-jw
10、) （6.21） 故 |H(ejw)|=1 （6.22）,（2）全通系统的应用,1)任何因果稳定的(非最小相位延时)系统的H(z)都可表示为全通系统Hap(z) 和最小相位延时系统Hmin(z)的级联 （6.23） 这样，H(z)和Hmin(z)幅频响应相同，相频特性不同： （6.26） 相位是两子系统的相位和 argH(z)=argHmin(z)+argHap(z) 可用简单的最小相位延时系统表征原因果稳定系统 (主要是幅频特性相同, 相位特性不关心时用),例证：因果稳定非最小相位延时系统 （6.24） 设1/z0和1/z0*是单位圆外的两零点，H1(z)零点在单位圆内，则 （6.25） 因
11、|z0|1，故H1(z)(1-z*0z-1)(1-z0z-1)是最小相位延时(全部零极点在单位圆内)，而其余项是一阶全通级联。故6.23式成立。,说明: 分解为全通和最小相位延时子系统的方法是：因果稳定系统的极点必在单位圆内，而零点分为单位圆内外两部分；单位圆内的零点(包括圆外点在圆内的镜像)为最小相位延时系统的零点，单位圆外的零点为全通系统的零点,2)若滤波器是不稳定的，可级联全通函数使其为稳定系统：不稳定滤波器在单位圆外有极点，由原系统的单位圆外极点作为全通系统的零点构建；再与原滤波器级联，幅值谱不变(不影响幅频性)，级联后零极点抵消，系统稳定。 例：原滤波器有单位圆外极点对 z=r-1e
12、jq ， |r|1 级联全通系统 则单位圆外极点抵消，幅度性不变，但系统稳定,3)作为相位均衡器(群延时均衡器):不改变幅频特性时，可得线性相位。(略) 一般，IIR滤波器的相位是非线性的 设全通滤波器为Hap(z)，原IIR系统为Hd(z) 级联后，H(z)为 其频谱为 相位关系,按定义 - 得 在通带，用全通系统的群延时逼近原IIR系统群延时的非线性负值，抵消其非线性部分，使通带的群延时满足t(w)=t0常数(线性相位系统) 逼近误差的平方值 要求: 全通系统逼近后的误差越小越好。这是优化设计(寻找困难),6.4模拟滤波器转换(设计)IIR数字滤波器,成熟的模拟滤波器较多，设计简单规范；根
13、据已有模拟滤波器可设计数字滤波器 基本方法：把模拟滤波器Ha(s) 的s平面映射到z平面的所需数字滤波器H(z)。 基本要求： 1) Ha(s)的频响能模仿H(z)的频响(即频率轴对应,s的虚轴j映射到s的单位圆) 2) 因果稳定系统的Ha(s)能映射成因果稳定的H(z) 模拟滤波器原型有巴特沃思、切比雪夫、考尔(椭圆型)等(低通),根据不同频带变换，从已有模拟到数字滤波器的方法有: 方法1: 1)用模拟频带转换法将模拟滤波器转换成所需类型(低、高、带、带阻频谱)的模拟滤波器；2)再用模拟到数字的映射方法，转换为相应数字滤波器. 方法2: 1)用模拟映射到数字法，将模拟转换为对应的数字滤波器；
14、2)再用数字频带变换法，将数字的(不满足频谱要求)转换为所需数字滤波器. 方法3: 对严格带限的数字滤波器(低通或带通)，通过频率变换，可将1)模拟频带转换和2)模拟转换数字的过程合为一步完成。 共有关键步骤：1)模拟到数字的变换；2)频带转换 其中，模拟到数字的映射方法：冲激响应不变法、双线性变换法、阶跃响应不变法。,1 冲激响应不变法,（1）变换基本原理 使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t) 。即用ha(t)的抽样作为h(n) （6.27） 用2.53式得抽样z变换与模拟拉氏变换的关系 （6.28）,变换关系z=esT，s=(lnz)/T 与2.5节
15、一致，如图6.7： 1)S平面的每个2/T宽横条重叠映射到Z平面，体现Z的相位对S虚轴有2j/T的周期性； 2)S虚轴j映射到z单位圆，虚轴每段2/T的线段重复映射到单位圆的一周； 3)S各横条的左半边映射到Z单位圆内,其右半边映射到单位圆外 4)该周期性使冲击响应不变法不代表S到Z的简单变换,(2)模拟滤波器的数字化,按冲击响应不变法，变换过程：模拟系统Ha(s)拉氏反变换得ha(t)对模拟响应抽样得h(n)再取z变换 据极点特点、s和z平面关系求变换关系： A、设模拟滤波器Ha(s) 只有单阶极点，展开成部分分式（分母阶次一般大于分子阶次） （6.32） 冲激响应ha(t) 是Ha(s)的
16、拉氏反变换，再对ha(t)抽样得 （6.33）,对h(n)求z变换，得数字滤波器系统函数 比较Ha(s)和H(z)： 1)s单极点s=sk变换到z上z= exp(skT)处单极点; 2)两部分分式系数相同Ak 3)若模拟滤波器稳定(Resk0)，变换后的极点在单位圆内|exp(skT)|1，数字滤波器也稳定,4)这可保证两者极点间有代数对应关系； 但不能保证整个s与z平面有这种关系，如零点没该关系，而是随Ha(s)的极点sk及系数Ak变化 5)由6-31式知,数字滤波器的幅值频率响应还与抽样间隔T成反比。当抽样频率高时，滤波器增益会太高，需对其进行修正(一般不希望频响特性随抽样频率变化)。,修正方法：
