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1、第二章 函数 自我校对对应关系图象法单调性映射_函数值域的求法函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，一旦函数的定义域和对应法则确定了，值域也就确定了而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域求下列函数的值域：(1)y；(2)y；(3)f (x)x.【精彩点拨】(1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解【自主解答】(1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x0，即x
2、0.所以函数y的定义域为0，)，因此0，所以函数y的值域为0，)(2)法一(分离系数法)：y2.而0，所以22，因此函数y的值域为(，2)(2，)法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x30，即x3，所以函数y的定义域为xR|x3又由y，得x.而分式的分母不能为零，所以2y0，即y2.所以函数y的值域为(，2)(2，)(3)令t，则t0，xt2，f (x)t2t2.t0，f (x)，函数f (x)x的值域为.常见的求值域的方法1直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域例如求函数f (x)5x1(x1,2,3,4)的值域，只需将所有自变量的函数
3、值都求出来，即可得到函数f (x)的值域为6,11,16,212分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域3反解法：例如求函数y(x4)的值域由y解出x得x.由x4，得4，即0，y或y1.故函数y(x4)的值域为(，1).4图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域5换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解再练一题1(1)函数f (x)则f (x)的最大值与最小值分别为_、_.(2)已知
4、函数f (x)x24xa，x0,1，若f (x)有最小值2，则f (x)的最大值为_【解析】(1)f (x)在1,2和1,1)上分别递增，而且在1,2上，f (x)minf (1)8.在1,1上，f (x)f (1)178，f (x)在1,2上单调递增，f (x)maxf (2)22610，f (x)minf (1)176.(2)f (x)x24xa(x2)2a4，对称轴为x2，在0,1上，f (x)单调递增，f (x)minf (0)a2，f (x)maxf (1)14a431.【答案】(1)106(2)1函数性质的应用函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数
5、、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点函数f (x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f . (1)确定函数f (x)的解析式；(2)用定义证明：f (x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式：f (t1)f (t)0.【精彩点拨】(1)(2)分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；(3)利用奇偶性和单调性去掉f ，转化为t的不等式求解【自主解答】(1)由题意，得即f (x)，经检验，符合题意(2)证明：任取x1，x2(1,1)且x1x2，则f (x2)f (x1).1x1x20,1x0,1x
6、0.又1x1x20，f (x2)f (x1)0，故f (x2)f (x1)，f (x)在(1,1)上是增函数(3)原不等式可化为f (t1)f (t)f (t)f (x)在(1,1)上是增函数，1t1t1，解得0t.故原不等式的解集为.函数单调性与奇偶性应用常见题型1用定义判断或证明单调性和奇偶性2利用函数的单调性和奇偶性求单调区间3利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式4利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围再练一题2已知奇函数f (x)(1)求实数m的值；(2)若函数f (x)在区间1，|a|2上单调递增，试确定a的取值范围【解】(1)当x0，所以f (x)(x)22(x)x22x.
7、又因为f (x)是奇函数，所以f (x)f (x)x22x，即f (x)x22x，所以m2.(2)由题意知，要使函数f (x)在1，|a|2上单调递增，则有即1|a|3，解得3a1或10，g(x)0，所以f (x)g(x)0，只有符合(2)令f (x)x24|x|5，则f (x)作出f (x)的图象，如图所示由图象可知，当1m5时，f (x)的图象与ym有4个交点，即方程x24|x|5m有4个互不相等的实数根【答案】(1)(2)1m5作函数图象的方法方法一：描点法求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图方法二：变换法熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转
8、再练一题3对于任意xR，函数f (x)表示x3，x，x24x3中的较大者，则f (x)的最小值是_【解析】首先应理解题意，“函数f (x)表示x3，x，x24x3中的较大者”是对同一个x值而言，函数f (x)表示x3，x，x24x3中最大的一个如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0，3)，B(1,2)，C(5,8)从图象观察可得函数f (x)的表达式：f (x)f (x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f (x)的最小值是2.【答案】21函数y的定义域是_【解析】要使函数有意义，需32xx20，即x22x30，得(x1)(x3)0，即3x1，故所求函数的定义
9、域为3,1【答案】3,12某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图22中A点表示十月的平均最高气温约为15 ，B点表示四月的平均最低气温约为5 .下面叙述不正确的是_(填序号)各月的平均最低气温都在0 以上；七月的平均温差比一月的平均温差大；三月和十一月的平均最高气温基本相同；平均最高气温高于20 的月份有5个图22【解析】由图形可得各月的平均最低气温都在0 以上，正确；七月的平均温差约为10 ，而一月的平均温差约为5 ，故正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 左右，基本相同，正确；平均最高气温高于20 的月份只有2个，错误【答案】3已知函
10、数f (x)ax32x的图象过点(1,4)，则a_.【解析】f (x)ax32x的图象过点(1,4)，4a(1)32(1)，解得a2.【答案】24已知函数f (x)的定义域为(1,0)，则函数f (2x1)的定义域为_【解析】要使函数有意义，需满足12x10，解得1x，即所求函数的定义域为.【答案】5已知函数f (x).若f (a)3，则实数a_. 【解析】因为f (a)3，所以a19，即a10.【答案】106已知函数f (x)为奇函数，且当x0时，f (x)x2，则f (1)_.【解析】当x0时，f (x)x2，f (1)122.f (x)为奇函数，f (1)f (1)2.【答案】2旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。7
