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1、勾股定理及其逆定理的应用一、选择题1.如图17-4-1,一个无盖的正方体盒子的棱长为2 dm,BC的中点为M,一只蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点,蚂蚁爬行的最短距离是()图17-4-1A.13 dmB.5 dm C.17 dm D.(2+5)dm答案C蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点,蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度,无盖的正方体盒子的棱长为2 dm,M为所在棱的中点,A1B=2+2=4(dm),A1M=1 dm,BM=42+12=17(dm).2.三角形的三边长为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三
2、角形D.锐角三角形答案C化简(a+b)2=c2+2ab,得a2+b2=c2,所以该三角形是直角三角形,故选C.二、填空题3.如图17-4-2是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为100 cm,15 cm和10 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长度为.图17-4-2答案125 cm解析展开图如图,则AC=100 cm,BC=153+103=75(cm),在RtABC中,AB=AC2+BC2=125 cm,所以蚂蚁所走的最短路线长度为125 cm.4.如图17-4-3,已知长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此
3、长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则ABE的面积为.图17-4-3答案6 cm2解析由折叠知ED=BE,设AE=x cm,则ED=BE=(9-x)cm,在RtABE中,AB2+AE2=BE2,即32+x2=(9-x)2,解得x=4,即AE=4 cm,ABE的面积为3412=6(cm2).三、解答题5.长方体盒子的长,宽,高分别为3 cm,2.4 cm和1.8 cm,盒内可放的棍子最长为多少?(盒子的厚度不计)解析长方体盒子底面上由长和宽组成的长方形的对角线长为32+2.42=14.76(cm).盒内能容纳的棍子最长为14.76+1.82=32(cm).6.如图17-4-4,铁路上A,B
4、两点相距23 km,C,D为两村庄,DAAB于A,CBAB于B,已知DA=15 km,CB=8 km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少千米处?图17-4-4解析使C,D两村到E站的距离相等,DE=CE.DAAB于A,CBAB于B,A=B=90,AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2,AE2+AD2=BE2+BC2,设AE=x km,则BE=AB-AE=(23-x)km,DA=15 km,CB=8 km,x2+152=(23-x)2+82,解得x=8,AE=8 km.答:E站应建在离A站8 km处.7.如图17-4-5,公路M
5、N上有一拖拉机由点P向点N行驶,在公路一侧有一所中学A,已知PA=160 m,且NPA=30.假设拖拉机在行驶时,周围100 m内受到噪音影响,那么当拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响?请说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为10 km/h,那么学校受影响的时间是多少秒?图17-4-5解析过A作ADMN于D.因为PA=160 m,且NPA=30,所以AD=80 m.因为80100,所以当拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受影响.当AP=100 m时,根据勾股定理求得DP=60 m,602=120 m.因为拖拉机的速度为10 km/h,120 m=0.12 km,0.1210=0.012(h),0.0123 600=43.2(s).答:学校受影响的时间是43.2秒.4
