《2018届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第九节 函数模型及应用学案 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第九节 函数模型及应用学案 文（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用知识点一 几种常见的函数模型 函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)1已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60
2、千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，则汽车离A地的距离S(千米)表示为时间t(小时)的函数解析式是_解析：当0t2.5时，S60t；当2.5t3.5时，S150；当3.51)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性_增长速度_相对平稳图象的变化随x值增大，图象与_接近平行随x值增大，图象与_接近平行随n值变化而不同答案增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴x轴4一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示，直线tt0(0t05)左侧部分阴影图形的面积的实际意义是_解析：根据速率与时间的关系可得答案：在0，t0时间段内汽车行驶的
3、里程5(2016四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年解析：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列an，其中，首项a1130，公比q112%1.12，所以an1301.12n1.由1301.12n1200，两边同时取对数，得n1，又3.8，则n4.
4、8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.答案：B热点一一次函数、二次函数模型的应用 【例1】某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：年固定成本(万美元)每件产品成本(万美元)每件产品销售价(万美元)每年最多可生产件数甲产品20a10200乙产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3a8.另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(xN)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生
5、产这两种产品的最大年利润【解】(1)由题知y110x(20ax)(10a)x20，0x200且xN；y218x(408x)0.05x20.05x210x400.05(x100)2460,0x120且xN.(2)3a8，10a0，y1(10a)x20为增函数又0x200，xN，x200时y1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10a)200201 980200a(万美元)又y20.05(x100)2460,0x120，xN，x100时，y2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元.【总结反思】二次函数是我们比较熟悉的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值解决实际中的优化问题
6、时，一定要分析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a、b、c是常数)，右图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A3.50分钟 B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟解析：由题中图象可知点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)在函数图象上，
7、因此有解得故p0.2t21.5t2，其对称轴方程为t3.75.所以当t3.75时，p取得最大值故选B.答案：B热点二 分段函数模型的应用 【例2】中共十七届六中全会通过“文化强国”战略，提出要努力建设社会主义文化强国为响应中央号召，郑州市2012年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造据调查，改造后预计该市在一个月内(以30天计)，民族文化旅游人数f(x)(万人)与时间x(天)的函数关系近似满足f(x)4(1)，人均消费g(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足g(x)104|x23|.(1)求该市旅游日收益p(x)(万元)与时间x(1x30，xN*)的函数关系式；(2)若以最低日收益
8、的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资？【解】(1)由题意，知p(x)f(x)g(x)4(1)(104|x23|)(1x30，xN*)(2)由(1)，知p(x)当1x23时，p(x)4(1)(81x)4(82x)4(822)400，当且仅当x，即x9时，p(x)取得最小值是400；当23x30时，p(x)4(1)(127x)4(126x)，设h(x)x，则有h(x)1400.所以当x9时，p(x)的最小值为400万元则两年内的税收为40015%301221.5%648600，所以600万元投资可以在两年内全部收回.【总结反思】解决函数建模问题，
9、首要的问题是弄清楚实际问题的意义，其中变量是什么，求解目标是什么，为了表达求解目标需要解决什么问题，这些问题清楚了就可以把求解目标用一个变量表达出来在函数模型中，含有绝对值的函数本质上是分段函数，要特别注意其中关键点的把握，如本例中x23，而对于解决分段函数问题，要先解决函数在各段上的性质，然后把各段上的性质整合为函数在其整个定义域上的性质.某商场从2016年1月份起的前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关系近似地满足p(x)x(x1)(392x)(其中xN*，且x12)，该商品第x月的进货单价q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)(1)写出2016年第x月的需求量
10、f(x)(单位：件)与x的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2016年第几个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？解：(1)当x1时，f(1)p(1)37，当2x12，且xN*时，f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)(x1)x(412x)3x240x.验证x1符合，故f(x)3x240x(xN*，且1x12)(2)预计该商场第x个月销售该商品的月利润为g(x)，即g(x).当1x6，且xN*时，g(x)18x2370x1 400，令g(x)0，解得x5或x(舍去)当1x5时，g(x)0，当5x6时，g(x)0)(1
11、)如果m2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围【解】(1)若m2，则22t21t2，当5时，2t，令2tx(x1)，则x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此时t1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即2恒成立，即m2t2恒成立亦即m2恒成立令y，则0y1，m2(yy2)恒成立，由于yy2，m.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.【总结反思】(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；(3)ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是_小时解析：由得e11k.当x33时，ye33kb(e11k)3eb319224.答案：241认真分析题意，合理选择函数模型是解决应用问题的基础2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的
