《高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5.1-5.2 直线间的夹角、平面间的夹角课件 北师大版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5.1-5.2 直线间的夹角、平面间的夹角课件 北师大版选修2-1（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 5 夹角的计算,5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角,1.理解两条异面直线的夹角、两平面的夹角的概念. 2.能够利用向量方法解决线线、面面的夹角问题. 3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 直线间的夹角 当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在 内的角叫作两直线的夹角. 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作ABl2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作 . 空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角
2、确定. 已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2. 当0s1，s2 时，直线l1与l2的夹角等于 ； 当 s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于 .,答案,s1，s2,异面直线l1与l2的夹角,s1，s2,答案,知识点二 平面间的夹角 如图，平面1与2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面1上作直线l1l，在平面2上作直线l2l，则l1l2R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角. 已知平面1和2的法向量分别为n1和n2. 当0n1，n1 时，平面1与2的夹角等于 ； 当 n1，n2时，平面1与2的夹角等于 .,n1，n2,n1，n2,返回,答案,思考 (1)异面直
3、线的夹角范围是什么？,(2)两平面的夹角范围是什么？,题型探究 重点突破,题型一 两条异面直线所成角的向量求法 例1 如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,解 以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，,反思与感悟,建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围.,解析答案,跟踪训练1 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E是棱AB上
4、的动点.若异面直线AD1与EC所成角为60，试确定此时动点E的位置. 解 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设E(1，t,0)(0t2)，,所以t1，所以点E的位置是AB的中点.,解析答案,题型二 平面间的夹角的向量求法 例2 如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都 相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1 和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明：O1O底面ABCD； 证明 因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1AC.同理DD1BD. 因为CC1DD1，所以CC1BD. 而ACBDO，且AC底面
5、ABCD，BD底面ABCD， 因此CC1底面ABCD. 由题意知，O1OC1C，故O1O底面ABCD.,解析答案,(2)若CBA60，求平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角的余弦值.,反思与感悟,解析答案,解 因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD.又O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直. 如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 不妨设AB2.,反思与感悟,易知，n1(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量. 设n2(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，
6、,反思与感悟,反思与感悟,设n1，n2分别是平面，的法向量，则向量n1与n2的 夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图.用 坐标法的解题步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. (2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n1，n2. (3)计算：求n1与n2所成锐角，cos . (4)定值：平面间的夹角就是.,解析答案,跟踪训练2 如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求平面AA1D与平面A1BD的夹角的余弦值.,解 如图所示，取BC中点O，连接AO.因为ABC是正三角形，所以AOBC，因为在正三棱柱ABC-A1B1
7、C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.,解析答案,解析答案,又BDBA1B，BD平面A1BD，BA1平面A1BD， 所以AB1平面A1BD，,解析答案,题型三 两夹角的综合问题 例3 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBFB1. (1)求平面CDE与C1DE夹角的正切值；,解析答案,D(0,3,0)，D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0), C1(4,3,2).,设向量n(x，y，z)与平面C1DE垂直，则有,取n(1,1,2)，则n是平面C1DE的一个法向量.,设平面CDE与C
8、1DE的夹角为. 由图知所求夹角为锐角，,解析答案,反思与感悟,(2)求直线EC1与FD1夹角的余弦值. 解 设EC1与FD1夹角为，则,利用空间向量解题，大致可分采用基底法和坐标法.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系.难点是在已建好的坐标系中表示出已知点(或向量)的坐标.只有正确表达出已知点(或向量)的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.,反思与感悟,(1)求证：DEEC；,解析答案,设A(x,0,0)(x0)，,解析答案,返回,(2)求平面EPC与平面DPC夹角的大小.,解 作DGPC交PC于点G，可设G(0，y，z)，,解析答案
9、,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线的夹角等于( ) A.30 B.150 C.30或150 D.以上均错,A,答案,1,2,3,4,5,解析答案,2.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面的夹角的大小为( ) A.45 B.135 C.45或135 D.90,A,二面角的大小为45.,1,2,3,4,5,解析答案,A.60 B.90 C.105 D.75 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB11，则A(0,0,1)，,B,即AB1与C1B所成角的大小为90.,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy夹角的余弦 值为_.,1,2,3,4,5,解析答案,5.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4，DD13，则异面 直线A1B与B1C所成角的余弦值为_. 解析 如图，建立空间直角坐标系. 由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4,4,0)，C(0,4,3).,课堂小结,利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.,返回,
