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1、,立体几何,第 七 章,第38讲 空间点、直线、平面之间的位置关系,栏目导航,1平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理2：过_的三点，有且只有一个平面 (3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,两点,不在一条直线上,一个,(4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2：经过两条_直线有且只有一个平面 推论3：经过两条_直线有且只有一个平面,相交,平行,平行,相交,任何,(2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把
2、a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围：_. (3)平行公理：平行于_的两条直线互相平行 (4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_.,锐角(或直角),同一条直线,相等或互补,3直线与平面、平面与平面之间的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有_、_、_三种情况 (2)平面与平面的位置关系有_、_两种情况,相交,平行,在平面内,平行,相交,1思维辨析(在括号内打“”或“”) (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分( ) (2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于点A，并记作A.( ) (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( ) (4)已知a
3、，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线( ),解析 (1)错误当两个平面平行时，把空间分成三个部分 (2)错误由公理3知应交于过点A的一条直线 (3)错误应相交于直线BC，而非线段 (4)正确因为若cb，则由已知可得ab，这与已知矛盾 (5)错误异面或平行,2若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c( ) A一定平行 B一定相交 C一定是异面直线 D一定垂直 解析 因为bc，ab，所以ac，即a与c垂直,D,3下列命题正确的个数为( ) 经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面； 两两相交的三条直线最多可以确定三
4、个平面 A0 B1 C2 D3 解析 错误，正确,C,4已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( ) A相交或平行 B相交或异面 C平行或异面 D相交、平行或异面 解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,D,5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为_. 解析 连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.,60,用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法 (1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给
5、条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 (2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点,一 平面的基本性质及应用,【例1】 以下四个命题中，正确命题的个数是( ) 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面
6、 A0 B1 C2 D3 解析 显然是正确的，可用反证法证明；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故只有正确故选B,B,(2)由(1)知FH与直线AC不平行，但共面，设FHACM， M平面EFHG，M平面ABC. 又平面EFHG平面ABCEG， MEG.FH，EG，AC共点,二 空间两条直线的位置关系,判断空间两条直线的位置关系的方法 (1)异面直线，可采用直接法或反证法 (2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理 (3)垂直关系，往往利用线面垂直的
7、性质来解决,【例3】 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由,三 两条异面直线所成的角,两异面直线所成角的作法及求解步骤 (1)找异面直线所成的角的三种方法： 利用图中已有的平行线平移； 利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移； 补形平移,(2)求异面直线所成的角的三个步骤： 作：通过作平行线，得到相交直线； 证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角； 算：通过解三角形，求出该角,【例4】 已知正方体ABCDA1B1C1D1. (1)求AC与A1
8、D所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小 解析 (1)如图所示，连接B1C. 由ABCDA1B1C1D1是正方体， 易知A1DB1C，从而B1CA(或其补角)就是AC与A1D所成的角 AB1ACB1C， B1CA60， 即A1D与AC所成的角为60.,(2)如图所示，连接AC，BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中， ACBD，ACA1C1. E，F分别为AB，AD的中点， EFBD.EFAC. EFA1C1， 即A1C1与EF所成的角为90.,1下列命题中正确的个数是( ) 过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行； 异面直线a，b
9、在平面内的射影相互垂直，则ab； 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； 直线a，b分别在平面，内，且ab，则. A0 B1 C2 D3,A,解析 对于，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故错误；对于，在如图1所示的三棱锥PABC中，PB平面ABC，BABC，满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故错误；对于，在如图2所示的三棱锥PABC中，ABBCACPA2，PBPC3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥PABC不是正三棱锥，故错误；对于，直线a，b分别在平
10、面，内，且ab，则，可以平行，故错误所以正确命题的个数为0.故选A,D,3两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 ( ) A两条相交直线 B两条平行直线 C两个点 D一条直线和直线外一点 解析 如图，在正方体ABCDEFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点故选C,C,错因分析：考虑问题不全面，忽略元
11、素可能存在的多种情况，导致丢解如本例中易忽略交点S在两平面之间还是两平面外侧，导致丢解,易错点 考虑问题不全面,【例1】 设平面，满足，A，C，B，D，直线AB与CD交于点S，若SA18，SB9，CD34，求SC的长度,【跟踪训练1】 在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线( ) A不存在 B有且只有两条 C有且只有三条 D有无数条 解析 在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条与直线A1B1，EF，BC都相交,D,
