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1、专题检测（十七） 圆锥曲线的方程与性质一、选择题1(2016全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B(1，)C(0,3) D(0，)解析：选A由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1nb0)的左、右焦点，M为直线y2b上的一点，F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.解析：选C因为F1MF2是等边三角形，故M(0,2b)，|MF1|F1F2|，即4b2c24c2，4a27c2，e2，故e.4已知双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2
2、，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，则|AB|()A2 B3C4 D21解析：选C设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a1，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|2a2，|BF1|BF2|2a2.又|AF1|BF1|，故|AF2|BF2|4，又|AB|AF2|BF2|，故|AB|4.5(2018届高三衡水中学调研)已知xx1，xx2是函数f(x)ax3ax2x的两个极值点，且A，B，则直线AB与椭圆y21的位置关系为()A相切 B相交C相离 D不确定解析：选B依题意得f(x)ax2ax1，显然a24a0，故a0，又x1，x2是方程ax2ax10的两根，所以x1
3、x21，x1x2，故kABa，则直线AB的方程为ya(xx1)，即yax，即ya(x1)，显然直线过定点(1,0)，又点(1,0)在椭圆y21内，故直线与椭圆相交6已知斜率为k(k0)的直线l与抛物线C：y24x交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段AB的中点，F为C的焦点，OFM的面积等于2，则k()A. B.C. D.解析：选C由抛物线方程y24x可知焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，M为线段AB的中点，将y4x1，y4x2两式相减可得yy4(x1x2)(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，即k.k0，y00，SOFM1y02，解得y04，k.二、填
4、空题7已知焦点为F的抛物线y22px(p0)上一点A(m，2)，若以A为圆心，|AF|为半径的圆A被y轴截得的弦长为2，则m_.解析：因为圆A被y轴截得的弦长为2，所以 |AF|m.又A(m,2)在抛物线上，所以82pm.由与可得p2，m2.答案：28(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.联立消
5、去x，得a2y22pb2ya2b20，所以y1y2，所以p，即，故，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx9已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为2,4，则的最小值的取值范围是_解析：设P(m，n)，则1，即m2a2.又F1(1,0)，F2(1,0)，则(1m，n)，(1m，n)，n2m21n2a21n2a21a21，当且仅当n0时取等号，所以的最小值为a21.由24，得a，故a21，即的最小值的取值范围是.答案：三、解答题10(2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线
6、，垂足为N，点P满足 .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由 ，得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明：由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1，得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
7、11(2017西安质检)已知椭圆与抛物线y24x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若2，求AOB的面积解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意可得c，又e，a2.b2a2c22，椭圆的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得设直线AB的方程为ykx1，代入椭圆方程整理，得(2k21)x24kx20，x1x2，x1x2.将x12x2代入上式整理可得，2，解得k2.AOB的面积S|OP|x1x2|.12(2017成都一诊)已知椭圆1的右焦点为F，设直线l：x5与x
8、轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点(1)若直线l1的倾斜角为，求ABM的面积S的值；(2)过点B作直线BNl于点N，证明：A，M，N三点共线解：(1)由题意，知F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线l1的倾斜角为，k1.直线l1的方程为yx1，即xy1.代入椭圆方程消去x，可得9y28y160.y1y2，y1y2.SABM|FM|y1y2| .(2)证明：设直线l1的方程为yk(x1)代入椭圆方程消去y，得(45k2)x210k2x5k2200，则x1x2，x1x2.直线BNl于点N，N(5，y2)kAM，kMN.而y2(3x1)2(y1)k(x21)(3x1)2k(x11)kx1x23(x1x2)5k0，kAMkMN，故A，M，N三点共线7
