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1、大题规范练(二)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分12分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S424，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2(1)nan，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)an为等差数列，an2n1.(2)bn2(1)nan22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1)，Tn2(41424n)3579(1)n(2n1)Gn.当n2k(kN*)时，Gn2n，Tnn；当n2k1(kN*)时，Gn2(2n1)n2，Tnn2，Tn2(本小题满分12分)已知某单位有50名职工，现要从中抽取
2、10名职工，将全体职工随机按150编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工的体重不轻于73 kg(73 kg)的职工中随机抽取2名，求体重为76 kg的职工被抽取到的概率解：(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为25(51)22，所以第1组抽出的号码为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为
3、(81707376787962656759)71，所以样本方差为s2(1021222527282926242122)52.(3)从10名职工中的体重不轻于73 kg的职工中随机抽取2名，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)设A表示“抽到体重为76 kg的职工”，则A包含的基本事件有4个：(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，故所求概率为P(A).3(本小题满分12分)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，M
4、，N分别为AB，CF的中点，现沿AE，AF，EF折叠，使B，C，D三点重合于点B，构成一个三棱锥(如图2)(1)证明：MN平面AEF；(2)证明：平面ABE平面BEF.证明：(1)翻折后B，C，D重合于B点，MN是ABF的一条中位线，MNAF.又MN平面AEF，AF平面AEF，MN平面AEF.(2)ABBE，ABBF，且BEBFB，AB平面BEF，而AB平面ABE，平面ABE平面BEF.4(本小题满分12分)已知椭圆C1的焦点在x轴上，中心在坐标原点；抛物线C2的焦点在y轴上，顶点在坐标原点在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：x324y08(1)求C1，C2的标准方程；(2)已知定
5、点C，P为抛物线C2上一动点，过点P作抛物线C2的切线交椭圆C1于A，B两点，求ABC面积的最大值解：(1)设C1：1(ab0)，由题意知，点(2,0)一定在椭圆上，则点也在椭圆上，分别将其代入，得1，1，解得a24，b21，C1的标准方程为y21.设C2：x22py(p0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线C2的方程，得p1，C2的标准方程为x22y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P，由yx2知yx，故直线AB的方程为yt2t(xt)，即ytxt2，代入椭圆C1的方程，整理得(14t2)x24t3xt440，16t64(14t2)(t44)4(t416t24)0，x
6、1x2，x1x2，|AB|，设点C到直线AB的距离为d，则d，SABC|AB|d，当且仅当t2时，取等号，此时满足0.综上，ABC面积的最大值为.5(本小题满分12分)已知函数f(x)exax2(x0，e为自然对数的底数)，f(x)是f(x)的导函数(1)当a2时，求证：f(x)1；(2)是否存在正整数a，使得f(x)x2ln x对一切x0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：当a2时，f(x)exx2，则f(x)ex2x，令f1(x)f(x)ex2x，则f1(x)ex2，令f1(x)0，得xln 2，又0xln 2时，f1(x)0，xln 2时，f1(x)0，f
7、1(x)f(x)在xln 2时取得极小值，也是最小值f(ln 2)22ln 20，f(x)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上为增函数f(x)f(0)1.(2)由已知，得f(x)exax，由f(x)x2ln x，得exaxx2ln x对一切x0恒成立，当x1时，可得ae，若存在，则正整数a的值只能取1,2.下面证明当a2时，不等式恒成立，设g(x)ln x，则g(x)，由(1)得exx212xx，exx0(x0)，当0x2时，g(x)0；当x2时，g(x)0.g(x)在(0,2)上是减函数，在(2，)上是增函数g(x)g(2)(e244ln 2)(2.7244ln 2)(3ln 16)0
8、，当a2时，不等式f(x)x2ln x对一切x0恒成立，故a的最大值是2.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分6(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为sin cos20.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标解：(1)sin cos20，sin 2cos20，即yx20.(2)将代入yx20得，t0，即t0，从而，交点坐标为(1，)，直线l与曲线C交点的一个极坐标为.7(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xm|x3m|(m0)(1)当m1时，求不等式f(x)1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)|2t|t1|恒成立；求m的取值范围解：(1)f(x)|xm|x3m|当m1时，由，或，或(无解)得x，不等式f(x)1的解集为x|x(2)不等式f(x)|2t|t1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)(|2t|t1|)min恒成立，即f(x)max(|2t|t1|)min，f(x)|xm|x3m|(xm)(x3m)|4m，|2t|t1|(2t)(t1)|3，4m3，又m0，0m.- 5 -
