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1、_第二章张旦八析2.10协变导数,逆变导数在曲线坐标系下,哈密顿算子定义为=88,设7为任意张量,则97构成新的张量,称为7的梯度。例如7=T7egg8,则VT7=g6(T骡踢身)g)=g9,7Vxgig8+T9+(5,8;8j8十。【0.8;8;8+0.8;g#)|每项偏导只对其后带点的符号求导|2.10.1协变导数二g“(0.770)8;E彦+(eng,8)8一厂;矿葛8一厂m8;8j8川P一二8(8,7Vt)8i88+TVA(m&gi8j8十厂Ing,gj8一厂Axgi88刀注:换指标使各项对应的基矢量的指标相同。2.10.1协变导数=(8.TV+ipTUt+厂IpTohxnT7p)88
2、88紫-V.TVrg8gj8V.TV=8,78t十ipT十厂TpTek一厂PxTY)称为张量7的协变导数。有些文献中记T二Ty臣史或“V.TVt二T|,对于矢量4=axgf=afguVa=g8;(axg)=8(8iaxt)g8*+ax0:8“=8(6iat)8一axTpg7-=5.agg一auepgg7=8a4g8一a,JTngg=(6iat-a,“x)g8=Viaug8其中V,a,=eu,=8,4一Q,厂1称为矢量a的协变导数。作业:证明矢量a的协变导数为ED怡hE一4口二i十Q厂办协变导数的指标是张量指标,放可通过逆变度量张量升高协变导数的指标来定义逆变寻数如下0V“Tx二g8“VT作业:
3、证明V,gy=0,V,89=0,V,8=0.s#=0,a=0,即度量张量、爱丁顿张量对于V,或V有如常数可以移进或移出其内外。2.10不变性微分算子一梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子以三阶混合张量=TVugg8二Txgy为例,在曲线坂标系下不变性微分算子定义如下:2.10.1梯度设乙=TVugigj8grad7=VT=86.(TVugigj8)=-V.TVtgggj8*=口Veg仁2.10:2敞度div7=V-工=80.(TVgigj8)=V,TVe5rgjg=V,TTegrdiva=8g8.(a8)=8.(8.a)8,+a厂ngoip=6,QG+Q:1贲=迁Z卜乙._/尸“=0,(ogy8)=0.(ogy).dive=8,q+a6,.(logvg)=L(Vga),v&
