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1、 知乎教育专升本-内部资料第 1 页 共 页第二章 导数与微分导数与微分这一章的基本思想是用极限理论来研究函数。这一章内容是高等数学微积分部分的基础，因此必须牢固地掌握其基本理论、基本方法和常用解题技巧。在研究生入学考试中，本章是所有高等数学课程的必考内容之一，一些综合考试题往往也要涉及到此章内容。通过这一章的学习，我们认为同学们应达到如下要求：1、熟练掌握导数的定义，特别是左导数、右导数概念。知道导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（如速度、加速度等）以及经济意义（如边际成本、边际收入等） 。2、熟练掌握求导数的方法。3、掌握高阶导数的定义，计算方法。4、了解微分定义，可导与可微的关系，一阶
2、微分不变性。一、知识网络图可 微 一 定 可 导可 导 一 定 可 微导 数 与 微 分 的 关 系几 何 意 义定 义微 分 计 算 方 法基 本 公 式 导 数 定 义 ）数 定 义 、 右 导 数 定 义 、定 义 （ 一 般 定 义 、 左 导导 数 Din注：Dini 导数在控制理论与应用中有广泛的应用。虽然高等数学教材上没有介绍，但计算机专业、电子专业的后继课程中有所涉及，因此我们认为还是有必要让学生知道。定义：函数 在定义域 内连续， 的四种 Dini 导数定义为)(xfD)(xf（1） ，hxfDh)(suplim0（2） ，fxf ()( 知乎教育专升本-内部资料第 2 页
3、共 页（3） ，hxffxfDh)(inlm)(0（4） 。sup二、典型错误分析例 1设 ，其中 在 处连续，求 。)()(xgaxf)(xa)(af错解 因为 ，则 。()xggf令 ，则a。)(af分析 仅在 处连续，在任意点 处未必可导，即 未必存在，因)(xgax)(xf此 是否可导难以判断，故上述解法不能成立。f正确解 利用导数的定义= = 。axfafx)(lim)( axgax0)(li )(例 2. 设 求 。,0 ,sin10, ),l()2xxf )(xf错解 当 时， ；当 时， ；当 时，01)(f 0)(fxf x，2sinixf故 .0 ,sin2i , ,0 1
4、)(2xxxf分析 问题发生在分界点 处的导数没有用定义求。x正确解 当 时， ；当 时， 。由于0x1)(f02sini)(xf是该函数的分界点，由导数的定义，我们有0x 知乎教育专升本-内部资料第 3 页 共 页= = ，0)(lim)0(xffx 0)1ln(i0xx= = ，li0ffx 20slimx因此 ，于是1)0(f .0 ,sin2i , ,1 )(2xxxf即 .0 ,sin2i , ,1)(2xxxf例 3.设 求当 时的导数 。,452tyx0tdxy错解 当 时，因 ， 不存在，故 也不存在。0dtxy0t分析 ， 存在是 存在的充分条件，但不是必要条件。dtxy正确
5、解 用导数定义处理。由于 ttxyt )(245limli00，0sgn)(li0tt故 。0tdxy例 4. 设 ，求 。tay3sinco2dxy错解 1 由于 知乎教育专升本-内部资料第 4 页 共 页， ，tadtxsinco32tadtycosin32故，ttadtxyansico32。ty221)tn(错解 2 由于， ，tadtxsico32tadtycosin32则， ，)sin(s222 tttt )sin(si22 ttt故。ttdtxyancosin2i22分析 的错误在于没有搞清楚是对 还是对 求导，以dxty22cos1)an( xt为自变量的函数 是不能直接对 求导
6、数的。ttx的错误是受 的影响而造成的。ttdtxyancosin2i22dtxy在数学学习中，我们提倡联想；在科学研究中，我们鼓励联想，但联想的结果正确与否是需要检验的。正确解 由于， ，tadtxsinco32tadtycosin32故= 。xty)(2 taxtsinco31)(4例 5. 设 和 在 上有定义，且满足下列条件：)(xfg),( 知乎教育专升本-内部资料第 5 页 共 页（1） ，)()()( xghfxfhf（2） 和 在 处可微，且g0， ，)(f 1)0(f求 。)(xf错解将 的两边对 求导，得)()()xghfxfhfh，)(xgf令 ，得0h，0)()(fxf
7、f由假设可得。gf分析 和 在 处可微，未必在 的某邻域内可微。例如)(xfg0xx是 有 理 数 ，当， 是 无 理 数 ，当， )(2我们容易验证 。由于 在 处不连续，当然不可微。因此1)0(x0)()()( xghffhf 缺乏依据。正确解 由（ 2）知道， ，0)()(limgaxgax 1)0()(limfxfax于是 hfffah)(li)( xfgfgxfh )(li hffh )(1)(lim0+gxfh0li0hfxh)0(lim。)()()(ff例 6. 求函数 的导数。xy)1( 知乎教育专升本-内部资料第 6 页 共 页错解 。21)()(xxyx 21)()(xx分
8、析 这函数不是指数函数型的一般复合函数，不能按照复合函数的求导法则计算导数，应该两边取对数后再求导。正确解 两边取对数得，)1ln()1ln(l xxxy两边求导，)()l( xy故有 。1n1)1(lnxxyx例 7. 求函数 的导数。x错解 1因为函数 是幂函数，则y。1xy错解 2因为函数 是指数函数，则x。xln分析 这函数既不是指数函数也不是幂函数，而是超越函数，应该两边取对数后再求导。正确解 两边取对数得，xylnl两边求导，l1l故有 。)n()n(xxy例 8. 已知 ，求 。52)(3xf )1(f错解因为 ，则 。10f分析 这种解法在初学者中经常出现，这是由于学生没有真正
9、了解 的涵义。)1(f的涵义是函数 在 处的值。)(f )(xf1正确解 因为 ，则 。23ln2ln312ln)(21f 知乎教育专升本-内部资料第 7 页 共 页例 9. 已知函数 存在二阶微分，求 。)(ufyyd2错解因为 ，所以 。d 22 )()()( dufdufufy分析 这种解法有问题。当 是自变量时结论正确，因为 相对于 是独立的所以 对 求导时 可以看作常量，但是 是中间变量，即 时，uf)( u )(x需要另外讨论。正确解 当 是自变量时，；22)(dufy当 时，)(xu xdyd)(22)(xuf 2)()(dxff29udxu。ff)()(例 10. 已知 存在，
10、求极限 。)(0xf xffx )3()2lim00错解因为 fx 3()2lim00= )5(5(li00 xffx= 。)5f分析 表示两点 和 函数值之差，而与)3(2(00fx20x30在 处的取值无关，因此 存在与否和)xf ffx5)()(lim0无关，所以不能把它作为 在 处的导数。(0 )f正确解 xfx 3()2(lim00 3)(3()2li 0000 xffxffx 。(5)(3)(2000fff 知乎教育专升本-内部资料第 8 页 共 页三、综合题型分析例 11. 设 问 取何值时 在 内可导。,1 ,2)sin()(xbaxf ba,)(xf),分析 要使 在 内可导
11、，则分段函数在分段点是连续的和可导的，f)(利用这两点就可以求出 的值。,解 容易知道， ， ，baxfx )(lim)(li11 2)1(sinlm)(li11 xxf baf)1(要使 在 处连续，必须。2因为，axbaxff xx 1)()(lim1)(li)1(00，1)sin(lm2sn11 x要使 在 处可导，则)(f，1a故 ， 。1ab方法小结 在 内可导隐含了函数在分段点是连续的和可导的，求)(xf),待定常数时我们往往要用这两个条件。例 12 设 ，求 。axf2)()(xf分析 因为 ，所以当 和 时用公式求导；在ax ,21 ,)(当当当xaf ax处用定义求导。ax解
12、 当 时， ，ln)(xaf当 时， ，2因为 ，2ln1lim)(li)( axaxfafx，lliliff axax 知乎教育专升本-内部资料第 9 页 共 页所以 在 处不可导，故)(xfaax ,2ln l,)(当当不 存 在 当xaaxf方法小结 在定义域内是分段函数时，不是分段点的导数直接求；分段点)(xf的导数一定要先分别求出其左右导数，如果左右导数相等，则其为分段点的导数，如果不相等，则在分段点没有导数。例 13设 ，求 。xf)1()2(f分析 这是超越函数，两边取对数后再求导。解 ，3)21(f两边取对数，ln)1l()(lnxxf两边求导，)(l)l()xf故 。3ln2
13、321ln)21( ff方法小结 这函数既不是指数函数也不是幂函数，而是超越函数，应该两边取对数后再求导。例 14设 ，求 。xeyxsin1y分析 对这类函数求导，如果按照根式的复合函数求导非常麻烦。可以两边取对数后再求导。解两边取对数，)ln(si81l42lnxxy两边求导，xysico2 知乎教育专升本-内部资料第 10 页 共 页故 。xexxysin)sin8co412(1方法小结 这类函数求导，往往两边取对数后再求导。例 15已知 是周期为 5 的连续函数，它在 的某个邻域内满足关系式)(xf 0x，)(8)sin1(3)sin1(fxf 其中 是当 时比 高阶的无穷小量，且 在 处可导，求曲线)(0f1在点 处的切线方程。xfy)6(,f分析 为了求曲线 在点 处的切线方程，只需要求出 。xy)6(,f )6(,f因为 是周期为 5 的连续函数，故只需要求出 。)(f )1(,f解由 )(8lim)sin1(3)sin1(lim00
