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1、高考达标检测（四十一）圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1(2017韶关一模)已知过抛物线y24x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|3，则直线l的斜率为()A1B.C. D2解析：选D由题意可知焦点F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由|AF|3xA1，得xA2，又点A在第一象限，故A(2,2)，故直线l的斜率为2，选D.2(2017丰台期末)若F(c,0)为椭圆C：1(ab0)的右焦点，椭圆C与直线 1交于A，B两点，线段AB的中点在直线xc上，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选B因为直线1在x，y轴上的截距分别
2、为a，b，所以不妨取A(a,0)，B(0，b)，又线段AB的中点在直线xc上，所以c，即e，选B.3若直线ykx2与抛物线y2x有一个公共点，则实数k的值为()A. B0C.或0 D8或0解析：选C由得ky2y20，若k0，直线与抛物线有一个交点，则y2，若k0，则18k0，k，综上可知k0或.4已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k ()A. B.C. D2解析：选D如图所示，设F为焦点，取AB中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由0，知MAMB，则|MP|AB|(|AG|BH|)，所以MP为直角梯形BH
3、GA的中位线，所以MPAGBH，所以GAMAMPMAP，又|AG|AF|，AM为公共边，所以AMGAMF，所以AFMAGM90，则MFAB，所以k2.5(2016惠州三调)若双曲线1(a0，b0)与直线y2x无交点，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,2) B(1,2C(1，) D(1, 解析：选D因为双曲线1(a0，b0)与直线y2x无交点，所以2，故e ，又e1，故双曲线的离心率e的取值范围是(1，故选D.6斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B.C. D.解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，
4、由消去y，得5x28tx4(t21)0.则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2| ，当t0时，|AB|max.二、填空题7已知抛物线yax2的焦点到准线的距离为2，则直线yx1截抛物线所得的弦长等于_解析：由题设知p2，a.抛物线方程为yx2，焦点为F(0,1)，准线为y1.联立消去x，整理得y26y10，y1y26，直线过焦点F，所得弦|AB|AF|BF|y11y218.答案：88(2014江西高考)过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得0，根据题意
5、有x1x2212，y1y2212，且，所以0，得a22b2，所以a22(a2c2)，整理得a22c2得，所以e.答案：.9设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2x2上的两点，直线 l 是AB的垂直平分线当直线 l 的斜率为时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是_解析：设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为yxb，过点A，B的直线可设为y2xm，联立方程得2x22xm0，从而有x1x21，48m0，m，又AB的中点在直线 l 上，即m1b，得mb，将mb代入得b，所以直线 l 在y轴上的截距的取值范围是.答案：三、解答题10设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右
6、焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值解：(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)设直线l的方程为yxc，其中c.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1b2)x22cx12b20，则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，因为0b1，所以b.11(2017广州联考)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F(1,0)，且经过点P.(1)求椭圆C的
7、方程；(2)若直线l与椭圆C相切，过F作FQl，垂足为Q，求证：|OQ|为定值(其中O为坐标原点)解：(1)由题意可设椭圆C的左焦点为F(1,0)，则半焦距c1.由椭圆定义可知：2a|PF|PF|4，所以a2，b2a2c23，所以椭圆C的方程为1.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，Q(2,0)或Q(2,0)，此时|OQ|2；当直线l的斜率为0时，l的方程为y，Q(1，)或Q(1，)，此时|OQ|2；当直线l的斜率存在且不为0时，设为k，其方程可设为ykxm(k0)因为FQl，所以直线FQ的方程为y(x1)由消去y可得(34k2)x28kmx4m2120.因为直线l与椭圆C相切
8、，所以(8km)24(34k2)(4m212)0，整理得：m24k23.(*)由得Q，所以|OQ| ，将(*)式代入上式得：|OQ| 2.综上所述：|OQ|2，|OQ|为定值12(2017武汉武昌区调研)已知抛物线E：y22px(p0)上一点M(x0,4)到焦点F的距离|MF|x0.(1)求E的方程；(2)过F的直线l与E相交于A，B两点，AB的垂直平分线l与E相交于C，D两点，若0，求直线l的方程解：(1)由抛物线的定义，得|MF|x0，又|MF|x0，x0x0，即x02p，M(2p,4)M(2p,4)在抛物线y22px(p0)上，4p216，解得p2(舍去)或p2.故E的方程为y24x.(
9、2)由题意可知，直线l的斜率存在，且不等于0，故可设l的方程为yk(x1)(k0)由消去y并整理，得k2x2(2k24)xk20.其判别式1(2k24)24k416(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x2)2k.AB的中点P的坐标为，|AB|x1x22.又l的斜率为，其方程为y，即xky3.由消去x并整理，得y24ky40.其判别式2(4k)216160.设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则y3y44k，y3y44.x3x4k(y3y4)24k26.CD的中点Q的坐标为，|CD|y3y4|，|PQ|.0，即ACAD，|AQ|CD|.又2|PQ|2|AQ|2，|AB|2|PQ|2|CD|2，即222，化简，得k210，解得k1.故所求直线l的方程为y(x1)，即xy10或xy10.地球上存在生命的原因、地球的圈层结构及特点等考点在高考中出现频率较低。与太阳辐射相关的内容在高考中多次出现，多考查太阳辐射分布特点及原因。太阳活动对地球的影响偶尔会考。7
