正则摄动理论

1 1 Ch. 7 正则摄动理论正则摄动理论 7.1 应用于单摆问题的级数方法应用于单摆问题的级数方法 7.2 用摄动理论解抛体问题用摄动理论解抛体问题 求解单一尺度问题的基本摄动方法求解单一尺度问题的基本摄动方法 2 7.1 应用于单摆问题的级数方法应用于单摆问题的级数方法 1. 单摆问题的尺度化单摆问题的尺度化 2. 级数方法级数方法 2 3 1. 单摆问题的尺度化单摆问题的尺度化 1/2 2* 2** 00 *2 * ** * sin0, 0, , 0, at 0 dg t dtL d at dt θ ωθω θ θ ⎛⎞ +==⎜ ⎟ ⎝⎠ === 2 2 sin 0, (0)1, (0)0 dad dtadt ΘΘΘ +=Θ== * * 0 , tt a θ ω=Θ = *** 0 ( )costatθω=当当a 很小时，线化近似得 因此，应取 很小时，线化近似得 因此，应取 4 2. 级数方法级数方法 1. 假设解可展为小参数假设解可展为小参数 a 的幂级数的幂级数 2. 代入方程并将方程也展为代入方程并将方程也展为 a 的幂级数的幂级数 3. 令各幂次系数为零，得到一系列线性微分方程令各幂次系数为零，得到一系列线性微分方程 4. 把幂级数代入初边值条件，展开比较得到相应的 初边值条件 把幂级数代入初边值条件，展开比较得到相应的 初边值条件 5. 相继求解一系列线性微分方程和初边值条件相继求解一系列线性微分方程和初边值条件 3 5 2 1 1 16 a t ? 二阶近似揭示，由于振动周期误差， 不是很好的近似 二阶近似揭示，由于振动周期误差， 不是很好的近似 ? 增加项数可改善精度，但不改变有效区间增加项数可改善精度，但不改变有效区间 2 2 sin 0, (0)1, (0)0 dad dtadt ΘΘΘ +=Θ== 2 111 ( , )coscoscos3sin 19219216 t atatttt ⎛⎞ Θ≈+−+ ⎜⎟ ⎝⎠ ( , )cost atΘ≈ 6 7.2 用摄动理论解抛体问题用摄动理论解抛体问题 1. 级数方法级数方法 2. 参数微分法参数微分法 3. 逐次逼近法（迭代法）逐次逼近法（迭代法） 介绍三种不同的正则摄动方法介绍三种不同的正则摄动方法 4 7 代入，展开，得代入，展开，得 1. 级数方法级数方法 2222 010012 (1 22)() 10xxxxxxεεεεε++++++++ =???????? 2 012 ( , )( )( )( )x tx tx tx tεεε=+++? 2 (1) ; (0)0, (0)1, 01xxxxεε − = −+==??? 令令 ** 211 , xt xt V gVg −− == 2 V gR ε= 22 (12)10xxxεε+++ =?? 0001 222223 20 11000 12 22()0 xx xx xx xx xx xO εε εεεεε ++++ ++++= ?????? ???????? 8 2 0 1 2 xtt= − (1)O： 222223 000120 11000 1222()0xx xxxx xx xx xOεεεεεεε++++++++=?????????????? 2 20 1100022 220, (0)0, (0)0xx xx xx xxx+++===????????? 000 10, (0)0, (0)1xxx+ ===??? ( )Oε： 2 (Oε)： 10011 20, (0)0, (0)0xx xxx+===????? 2 1 1 2 2 xtt ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ ?? 34 1 312 tt x =− 5 9 456 2 11111 460360 xttt= −+− 22 34 22 2 234 11 42 23122 1111 3 312 tt xtttt ttt ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ = −−+−+− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ = −+− ?? 34 222 2011000011 11 220, , , 2 23122 tt xx xx xx xxttxxtt ⎛⎞ +++== −=−=− ⎜⎟ ⎝⎠ ?????????? 34 224563 111111 () 2312460360 tt xtttttOεεε ⎛⎞ ⎛⎞ = −+−+−+−+ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 10 到达最高点时间：由，得到达最高点时间：由，得 五次方程 23 111 () 248 m xOεεε=+++ 23 22 1() 35 m tOεεε= +++ 23 12 1() m taaOεεε= +++ ()0 m x t=? 34 224563 111111 () 2312460360 tt xtttttOεεε ⎛⎞ ⎛⎞ = −+−+−+−+ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 2323453 11111 1()0 31260 mmmmmm ttttttOεεε ⎛⎞⎛⎞ −+−+−+−+= ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 令 代入比较，得 令 代入比较，得 6 11 思想：展开式中的系数可由 原方程对 思想：展开式中的系数可由 原方程对ε逐次求导后取得到：逐次求导后取得到： 1( , ) ( ) 0! j j j x t x t j ε εε ⎡⎤∂ = ⎢⎥ =∂ ⎣⎦ 0ε= ( ) i x t 0 ( , )( ) i i i x tx tεε ∞ = =∑ 2. 参数微分法参数微分法 12 ( , )xx tε= ( ) ( , ) i i i x t x ε ε ∂ ≡ ∂ (1)(0)3(1)(0) 2[1] []xxxxεε − =++?? 3 2(1) xx xxεε εε − ∂∂⎛⎞ =++ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ?? 第一步：将方程和边界条件对小参数求导第一步：将方程和边界条件对小参数求导 2 (1) ; (0)0, (0)1, 01xxxxεε − = −+==??? 引入符号，则引入符号，则 (0)( , ) ( , )xtx tεε≡ (2)(0)3(2)(1)(0)4(1)(0) 2 2[1] [2]6[1] []xxxxxxxεεεε −− =++−++?? 7 13 记，则记，则 (0)(1)(0)(2)(1)(0) 2 1, 2, 46[]yyyyyy= −==−?????? ( )( ) ( )( ,0) ii ytxt≡ 对边界条件同样处理对边界条件同样处理 (1)(0)3(1)(0) 2[1] []xxxxεε − =++?? (2)(0)3(2)(1)(0)4(1)(0) 2 2[1] [2]6[1] []xxxxxxxεεεε −− =++−++?? 第二步：在各方程中令小参数为零第二步：在各方程中令小参数为零 2 (1)xxε − = −+?? (0)0, (0)1xx==? (1)(1) (0)0, (0)0yy==? (2)(2) (0)0, (0)0yy==? (0)(0) (0)0, (0)1yy==? (0)2 1 2 ytt= −? ( ) 1 ( )( ) ! i i x tyt i = 14 且提供所求解的零级近似且提供所求解的零级近似 G: 高阶量 0F= ( , , ,, )( , , ,, )F x x xtG x x xt=? ??? ???? 第二步：逐次解方程（以表示第第二步：逐次解方程（以表示第 i 次近似）次近似） 适用于具有一个未知函数的常微分方程适用于具有一个未知函数的常微分方程 3. 逐次逼近法（迭代法）逐次逼近法（迭代法） 第一步：将微分方程写成第一步：将微分方程写成 000 (,,,, )0F zzzt=? ?? ? 111 (,,,, )(,,,, ), 1,2, nnnnnn F zzztG zzztn −−− ==? ???????? i z 需满足初边值条件，但有时可放松 i z 8 15 每次近似只需精确到次 2 0 1 2 ztt= − 000 10, (0)0, (0)1zzz+ ===??? 2 (1) ; (0)0, (0)1xxxxε − = −+==??? 22 2 2 2 1 1 (1) (1) − + + = −+= + ?? xx xx x εε ε ε 22 11 2 1 2 1, (0)0, (0)1 (1) nn nnn n zz zzz z εε ε −− − + + === + ??? 2 222 22 1 2 2 11 2 122 12() 2 1 1 2 tttt zttO tt εε εε ε ⎛⎞⎛⎞ −+− ⎜⎟⎜⎟ ⎛⎞ ⎝⎠⎝⎠ + ==++ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎡⎤⎛⎞ +− ⎜⎟⎢⎥ ⎝⎠⎣⎦ ?? i ε 16 优点：不需要辨认小参数、错误仅推迟得到正确解 缺点：计算较繁 2 223423 2 1211 123() 2362 zttttttOεεε ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ + =++−−−+ ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ ?? 234 1 111 2312 zttttε ⎛⎞ = −+− ⎜⎟ ⎝⎠ 2 222 22 1 2 2 11 2 122 12() 2 1 1 2 tttt zttO tt εε εε ε ⎛⎞⎛⎞ −+− ⎜⎟⎜⎟ ⎛⎞⎝⎠⎝⎠ + ==++ ⎜⎟ ⎝⎠⎡⎤ ⎛⎞ +− ⎜⎟⎢⎥ ⎝⎠⎣⎦ ?? 11 (0)0, (0)1zz==? 9 17 ? 当时如问题无解或解在整个区域非一致有效 或有很多解时，要用奇异摄动法 当时如问题无解或解在整个区域非一致有效 或有很多解时，要用奇异摄动法 ? 摄动法也适用于代数方程、差分方程、偏微分方 程、积分方程或它们的方程组 摄动法也适用于代数方程、差分方程、偏微分方 程、积分方程或它们的方程组 ? 计算过程中各种极限运算交换次序但没有严格证 明，解的存在性依赖于参数 计算过程中各种极限运算交换次序但没有严格证 明，解的存在性依赖于参数 ? 项数增加时计算复杂性迅速增加，但通常计算一 项或两项就足够了 项数增加时计算复杂性迅速增加，但通常计算一 项或两项就足够了 0ε= 。