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1、中考复习专题 1 中考一轮复习之正比例函数与反比例函数中考一轮复习之正比例函数与反比例函数 知识考点： 1、掌握正、反比例函数的概念； 2、掌握正、反比例函数的图象的性质； 3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。 精典例题： 【例 1】填空： 1、 若正比例函数 135 2 ) 1( = mm xmy的图象经过二、四象限， 则这个正比例函数的解析式是 。 2、已知点 P（1，a）在反比例函数 x k y =（k0）的图像上，其中32 2 +=mma（m为实数） ，则这个函 数的图像在第 象限。 3、如图，正比例函数kxy =（k0）与反比例函数 x y 3 =的图像交于 A、C 两点，A
2、Bx轴于 B，CDx轴 于 D，则 ABCD S四边形 。 【例 2】如图，直线bxy+=（b0）与双曲线 x k y =（k0）在第一象限的一支相交于 A、B 两点，与坐 标轴交于 C、D 两点，P 是双曲线上一点，且PDPO =。 （1）试用k、b表示 C、P 两点的坐标； （2）若POD 的面积等于 1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式； （3）若OAB 的面积等于34，试求COA 与BOD 的面积之和。 解析： （1）C（0，b） ，D（b，0） POPD 22 bOD xP=， b k yP 2 = P（ 2 b ， b k2 ） （2）1= POD S，有1 2 2 1 =
3、b k b，化简得：k1 y x 例 2 图 P D C B A O y x 例 1 图 O D C B A 中考复习专题 2 x y 1 =（x0） （3）设 A（ 1 x， 1 y） ，B（ 2 x， 2 y） ，由 AOBCODBODCOA SSSS =+得： 34 2 1 2 1 2 1 2 21 =+bbybx， 又bxy+= 22 得38)( 2 21 =+bbxbbx， 即38)( 12 = xxb得 1924)( 21 2 21 2 =+xxxxb，再由 = += x y bxy 1 得01 2 =+bxx，从而bxx=+ 21 ，1 21 =xx，从而推出 0)12)(4)(
4、4( 2 =+bbb，所以4=b。 故348=+ BODCOA SS 评注：利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法。求两函数图像的交点坐标，即解由它们的解析式组 成的方程组。 探索与创新： 【问题】 如图， 已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线， 这条直线和x轴、y轴 分别交于点 A 和点 B，且 OAOB1。这条曲线是函数 x y 2 1 =的图像在第一象 限的一个分支，点 P 是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b） ，由点 P 向x 轴、y轴所作的垂线 PM、PN，垂足是 M、N，直线 AB 分别交 PM、PN 于点 E、 F。 （1）分别求出点 E、F 的坐标（用a的代数式表
5、示点 E 的坐标，用b的代数式表 示点 F 的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程） ； （2）求OEF 的面积（结果用含a、b的代数式表示） ； （3）AOF 与BOE 是否一定相似，请予以证明。如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由。 （4）当点 P 在曲线 x y 2 1 =上移动时，OEF 随之变动，指出在OEF 的三个内角中，大小始终保持不变的那 个角的大小，并证明你的结论。 解析：（1）点 E（a，a1） ，点 F（b1，b） （2） EPFFNOEMOMONPEOF SSSSS = 矩形 2 ) 1( 2 1 )1 ( 2 1 )1 ( 2 1 +babbaaab ) 1(
6、2 1 +ba （3）AOF 与BOE 一定相似，下面给出证明 OAOB1 FAOEBO BEaaa2)11 ( 22 =+ )(baP， y x 问题图 F E N M B AO 中考复习专题 3 AFbbb2)11 ( 22 =+ 点 P（a，b）是曲线 x y 2 1 =上一点 12=ab，即 AFBEOBOA1 BE OA OB AF = AOFBOE （4）当点 P 在曲线 x y 2 1 =上移动时，OEF 中EOF 一定等于 450，由（3）知，AFOBOE，于是 由AFOBBOF 及BOEBOFEOF EOFB450 评注：此题第（3） （4）问均为探索性问题， （4）以（3）
7、为基础，在肯定（3）的结论后， （4）的解决就不 难了。 在证明三角形相似时， EBOOAF 是较明显的， 关键是证明两夹边对应成比例， 这里用到了点 P （a， b） 在双曲线 x y 2 1 =上这一重要条件， 挖掘形的特征， 并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键。 跟踪训练： 一、选择题： 1、下列命题中： 函数xy3=（2x5）的图像是一条直线； 若y与z3成反比例，z与x成正比例，则y与x成反比例； 如果一条双曲线经过点（a，b） ，那么它一定同时经过点（b，a） ； 如果 P1（ 1 x， 1 y） ，P2（ 2 x， 2 y） ，是双曲线 x y 4 =同一分支上的两
8、点，那么当 1 x 2 x时， 1 y 2 y。 正确的个数有（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 2、已知 M 是反比例函数 x k y =（k0）图像上一点，MAx轴于 A，若4= AOM S，则这个反比例函数的解 析式是（ ） A、 x y 8 = B、 x y 8 = C、 x y 8 =或 x y 8 = D、 x y 4 =或 x y 4 = 3、在同一坐标系中函数kxy=和 x k y 1 =的大致图像必是（ ） x y x y x y x y 中考复习专题 4 A B C D 4、在反比例函数 x m y 2 1 =的图像上有三点（ 1 x， 1 y） ， （
9、 2 x， 2 y） ， （ 3 x， 3 y）若 1 x 2 x0 3 x，则 下列各式正确的是（ ） A、 3 y 1 y 2 y B、 3 y 2 y 1 y C、 1 y 2 y 3 y D、 1 y 3 y 2 y 5、在同一坐标系内，两个反比例函数 x k y 1+ =的图像与反比例函数 x k y 3 =的图像（k 为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（ ） A、3 B、2 C、1 D、0 二、填空题： 1、若反比例函数 72 2 )5( = mm xmy在每一个象限内，y随x的增大而增大，则m 。 2、A、B 两点关于y轴对称，A 在双曲线 x
10、y 1 =上，点 B 在直线xy=上，则 A 点坐标是 。 3、已知双曲线 x k y =上有一点 A（m，n） ，且m、n是方程024 2 =tt的两根，则k ，点 A 到原点的距离是 。 4、已知直线xnmy)2(+=与双曲线 x mn y = 3 相交于点（ 2 1 ，2） ，那么它们的另一个交点为 。 5、 如图， RtAOB 的顶点 A 是一次函数3+=mxy的图像与反比例函数 x m y =的图像在第二象限的交点， 且1= ABO S，则 A 点坐标是 。 三、解答题： 1、如图，直线l交x轴、y轴于点 A、B，与反比例函数的图像交于 C、D 两点，如果 A（2，0） ，点 C、D
11、 分别 在一、三象限，且 OAOBACBD，求反比例函数的解析式。 2、已知 21 yyy+=， 1 y与 2 x成正比例， 2 y与1x成反比例，当x1 时，y3；当x2 时，y3， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当2=x时，求y的值。 选择第 5 题图 x y BO A 第 1 题图 x y D C B AO 中考复习专题 5 3、如图，反比例函数 x y 8 =与一次函数2+=xy的图像交于 A、B 两点。 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求AOB 的面积。 4、如图，已知双曲线 x y 16 3 =（x0）与经过点 A（1，0） ，B（0，1）的直线交于 P、 Q 两点
12、，连结 OP、OQ。 （1）求证：OAQOBP； （2）若 C 是 OA 上不与 O、A 重合的任意一点，CAa) 10( + 0 0 21 21 xx xx ，解得m1 且m0 m 2 1 且m0 （2）若 1 x0， 2 x0，则 + x x xx 3 52 3) 1(2 ，并在数轴上表示出它的解集。 分析：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，故应将不等式组里各不等式分别求出解集，标到数轴上找出 公共部分，数轴上要注意空心点与实心点的区别，与方程组的解法相比较可见思路不同。 【例 3】求方程组 =+ =+ 2635yx kyx 的正整数解。 分析：由题设知，k必为正整数，由方程组可解得
13、用含k的代数式表示x、y，又x、y均大于零，可得出不等 式组，解出k的范围，再由k为正整数可得k6、7、8，分别代入可得解。 探索与创新： 中考复习专题 17 【问题一】已知不等式ax30，的正整数解只有 1、2、3，求a。 略解：先解ax30 可得：x 3 a ，考虑整数解的定义，并结合数轴确定 3 a 允许的范围，可得 3 3 a 4，解 得 9a12。 不要被“求a”二字误导，以为a只是某个值。 跟踪训练： 一、填空题： 1、用不等式表示： 13 x是非负数 ； 52 x不大于 3 ； a的 2 倍减去3 的差是负数 。 2、若ab，m为实数，用不等号填空： am2 bm2； mm，则m
14、a mb。 3、若2)2( 2 =mm，则不等式m280 的整数解是 。 4、当 1x2 时，代数式441 2 +xxx的值等于 。 5、若不等式组 0 125 ax x 无解，则a的取值范围是 。 二、选择题： 1、下列各中，不满足不等式8)5(2 B、aa C、aa D、aa 3、函数 1 5 + + = x x y的自变量x的取值范围是（ ） A、x1 B、x1 C、x0 D、x5 且x1 4、函数 1 1 + = x y的自变量x的取值范围是（ ） A、x1 B、x1 C、x0 D、全体数 三、求下列各函数中自变量x的取值范围。 1、 1+ = x x y； 2、 x y 2 =； 中考复习专题 18 3、 x x y + = 2 1 ； 4、 2 12 2 + + = xx x y。 四、解不等式（组） ： 1、解不等式：1) 1( 2 2 + + )3)(3() 1( 2 2 1 1 xxxx x x ，并把解集在数轴上表示出来； 3、解不等式组： + 3 52 3 95) 1(3 x x xx 的正整数解。 五、已知aa=33，当a为何整数时，方程组 = = ayx yx 115 163 的解都是负数
