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1、第 1 页 共 5 页理工大学理学院 2011 年秋概率论与数理统计试题参考答案一、填空题（本题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分） 1 620。3 57445 21二、选择题（本题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分）1(D)2(B)3(C)4(B)5(A)三、 （8 分）一门大炮不断地对目标进行轰击，在各次轰击中是否击中目标是相互独立的，目标被击中 3 次时才被击毁。设每次轰击击中目标的概率是0.6， 表示目标被摧毁时总共轰击的次数，求 的分布律。XX【解】 “前 次中恰有两次击中目标，且第 次击中目标” （2 分）i1i i故所求分布律为 （6 分）6.04.60321
2、iiCXP（8 分）3.,ii四、 （8 分）设随机变量 服从正态分布 ，且二次方程)(,2N第 2 页 共 5 页无实根的概率为 ，求 。042Xy21【解】因为 无实根，故有 ， （4 分）042Xy 0416X即 ，再由 ， （6 分）24P知 。 （8 分）4五、 （14 分）一电子仪器由两个部件构成，以 和 分别表示两个部件的XY寿命（单位：千小时） ，已知 和 的联合分布函数为XY其 他 ,00,1, )(5.0.5. yxeeyxFyyx问：(1) 和 是否独立？XY(2) 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率。【解】(1) 当 时，有 ， （2 分）0x xXexF5.0
3、1),()当 时，有 ， （4 分）0y yYyy.从而当 且 时，有xy， （6 分）),(1)( )(5.0.5.0 yxFeeyFxyxyxYX 所以 和 相互独立。 （7 分）Y(2) 由独立性，知所求概率为（9 分）1.0.1.0,. YPXYP（14 分）.51.05)()(1 eeFX六、 （10 分）一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10,0.20 和 0.30。假设各部件的状态相互独立，以 表示同时需X要调整的部件数，试求 。)(E【解】由题意， （2 分）0.980.754,PX第 3 页 共 5 页（4 分）30.12.306,PX（6
4、分）20.1.789.092,PX（8 分）54.,从而有 。 （10 分）().6E七、 （10 分，非 2+2）设某种元件的使用寿命 的概率密度为X,02);()(xexf其中 为未知参数。又设 是 的一组样本观察值，求参数 的0n,21 最大似然估计值。【解】 （4 分）其 他,0),21();()( 121 nixexfLinnii i 当 时， ，取对数得),2(ixi)(L。 （6 分）nixn12ll单增， （8 分）)(0)(lLLd，由于 必须满足 ，故,21(nix， （9 分）,mi21nx所以 的最大似然估计值为 。 （10 分）,x七、 （10 分，2+2）设 的概率
5、密度为X第 4 页 共 5 页，其 它,01,)()xxf其中 是未知参数， , , 是来自总体 的一个容量为 n 的简单11X2n X随机样本，试求 的最大似然估计量。【解】设 是相应于样本 的样本值，则似然函数为nx,21 n,21（4 分） 其 他,0),21(,)();()( 11 nixfL iniii 当 时， ，取对数得),2(0nixi)(L。 （6 分）niix1l)ll令 ， （7 分）0l)(ln1niidL解得 的最大似然估计值为 ， （9 分）niix1l从而得 的最大似然估计量为 。 （10 分）niiX1l八、 （10 分）某糖厂用自动打包机装糖，其标重为 50kg。已知每袋糖的重量服从正态分布 ，今随机地抽查了 9 袋，测得 ，问能否认为打)4,(N5.48x包机工作正常（取显著性水平 ，已知 ， ）？05.0.2516z0.1z【解】检验假设 （2 分）:H，第 5 页 共 5 页其拒绝域为 ， （4 分）250znxz由 ，得96.125.48905.xn， （8 分），96.125.48z故拒绝假设 ，即在显著性水平 0.05 下，认为机器工作不正常。 （10 分）0H
