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1、第十二章 函数项级数,1 函数序列的一致收敛概念,例1,解：,例2,解：,故,连续，但 却不连续,例3,解：,连续，但 却不连续,（一）概念, 函数序列一致收敛,定义 ,一致收敛的等价叙述, 函数项级数一致收敛,定义,（二）几何描述,（三）内闭一致收敛, 概念,定义, 性质,？,例4 考虑例1.,解：,由于,则 在0,1一致收敛于,例5. 证明:,解：,由于,则 在 一致收敛于,例6. 证明,例7.证明:,定理12.1,若函数列 每一项 在a, b连续,且 在 a, b 一致收敛于 ，则,在a, b连续。,定理12.2,若函数列 每一项 在a, b连续,且 在 a, b一致收敛于 ，则,即,下
2、面的例8说明在定理12.2一致收敛的条件不能少,例8,解：,在每个x连续，但 却不一致收敛于0,而,定理12.3,若函数列 在a, b逐点收敛于,而 在 a, b 连续，且 一致收敛于,则 在 a, b可微，且,即,2 函数项级数的一致收敛性 及其判别法,例1 求 的收敛域与和函数,故收敛域为（-1,1）,解：,例2 求函数项级数 的收敛域：,故收敛域为,解：,函数项级数一致收敛,定义,一、一致收敛的判别,（一）Cauchy收敛原理,定理 12.4,定理 12.4中当 p = 1 时得到:,定理 12.5,（二）Weierstrass(M-)判别法,定理 2,例6 求 在 一致收敛,例7 证明
3、：函数项级数 在 一致收敛,例8 证明：函数项级数 在 一致收敛,（ 三 ） A-D判别法,定理 3,例11 已知 收敛，,证明 在 一致收敛,例9 求 在 一致收敛,例10 证明：函数项级数 在 一致收敛,3 和函数的分析性质,函数项级数和函数的分析性质,（一）连续性质,Page-76：定理 12.1,定理 12.9,注 1,证明:,（二）积分定理,Page-76：定理 12.2,定理 12.11,（三）微分定理,逐点收敛于,Page-78：定理 12.3,定理 12.12,逐点收敛于,（四）Dini定理,定理 7,逐点收敛于,定理 12.10,逐点收敛于,例1,因 在 不一致收敛。,例2,
4、在 连续且任意次可导,小结,函数序列的一致收敛概念 一致收敛及其判别法,习题,(又称几何级数),( q 称为公比 ) 的敛散性.,解: 1) 若,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,1、讨论等比级数,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,2、,判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛 , 其和为,3、 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发
5、散 ,证明级数,发散 .,证: 因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散 .,4、,5、,证明级数,在 0,1 上不一致收敛 .,证:,取正数,对无论多么大的正数 N ,因此级数在 0, 1 上不,一致收敛 .,补充题,1、研究级数,在区间 0, +) 上的收敛性.,解:,余项的绝对值:,因此, 任给 0,取自然数,则当n N 时有,这说明级数在 0, +) 上一致收敛于,2、,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,上的表达式为,解: 先求傅里叶系数,将 f (x) 展成傅里叶级数.,3、 设正项级数,和,也收敛 .,提示: 因,存在 N 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛, 证明级数,当n N 时,4、,解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在, 原级数 =, 其收敛半径,注意:,5、 求幂级数,易求出级数的收敛域为,作业,P98:1:(1)(5)(6)(10)(16) P102:3(5)(6) P110:1(1)(2)(4) P111:3(1)(3),
