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1、材料力学与弹性力学,有限单元法 本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。首先简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。,弹性力学区别与联系材料力学,1、研究的内容：基本上没有什么区别 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。 2、研究的对象：有相同也有区别 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。,弹性力学区别与联系 材料力学,3、
2、研究的方法：有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。,弹性力学区别与联系 材料力学,总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力
3、学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定:,弹性力学中关于材料性质的假定,(1) 物体是连续的：亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用坐标的连续函数来表示。 (2) 物体是完全弹性的：亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任
4、一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。 (3) 物体是均匀的：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和泊松比)才不随位置坐标而变。 (4) 物体是各向同性的：也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 (5) 物体的变形是微小的：亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差。,4.1 弹性力学平面问题的基本方程,一、 弹性力学平面问题的两种类型 1.平
5、面应力问题 2.平面应变问题,关于应力,作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号 表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。,弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素。,PA=dx,PB=dy,PC=dz,正应力,剪应力,每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行:,为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码
6、，例如，正应力 是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着X轴方向作用的。,正应力,加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴的平面，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力 是作用在垂直于X轴的面上而沿着y轴方向作用的。,剪应力,应力的正负 如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。,剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个
7、角码可以对调。,由力矩平衡得出,简化得,剪应力互等,平衡微分方程,考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程：,应力分量 可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,关于应变 体素的变形可以分为两类：一类是长
8、度的变化，一类是角度的变化。 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的 引起正的 ）,应变分量矩阵,可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂
9、直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,平面应力问题,均匀厚度方向的尺寸小于其他两个方向的尺寸。 载荷平行于xoy平面，沿z方向均布，z方向的应力分量sz = tzx = tyz = 0。剩下三个应力分量sx，sy，txy平行于xoy平面的，这种问题称为平面应力问题。 如发动机连杆，直齿圆柱齿轮等。,平面应变问题,无限长的圆柱体，在柱面上受有平行于横截面且沿Z轴均匀分布的载荷，则可认为体内各点只有沿x及y轴方向的位移，无沿z方向的位移，六个应变分量中ez=gxz
10、=gyz=0；剩下三个应变分量ex，ey，gxy平行于xoy平面。 如：花键，滚针轴承中的滚子等。,高压水管,上面两类问题合称弹性力学平面问题，值得注意的是： 平面应力问题中，虽然sz = 0，但ez 0。 平面应变问题中，虽然ez = 0，但sz 0 。,1.几何方程位移与应变的关系 2.物理方程应变与应力的关系 3.平衡方程应力与外力的关系,二、平面问题的基本方程,1、几何方程-位移与应变的关系,弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。
11、以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。 在载荷作用下，物体内各点之间的距离发生变化，形成物体的变形。变形时物体中各点的位移互不相同，是点的位置坐标函数。 变形状态有两种描述方式： 位移 u(x, y) x方向 v(x, y) y方向 微小矩形单元的应变：ex，ey，gxy,A点在X方向的位移分量为u； B点在X方向的位移：,ABCD-ABCD 求线素AB、AD的正应变 ，用位移分量来表示：,线素AB的正应变为：,同理，AD的正应变为：,X向线素AB的转角 Y向线素AD的转角,求剪应变 ，也就是线素AB
12、与AD之间的直角的改变,线素AB的转角为：,A点在Y方向的位移分量为v； B点在Y方向的位移分量：,X向线素AB的转角 Y向线素AD的转角,求剪应变 ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变,同理，Y向线素AD的转角,由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小 得多的 略去，得,因此，剪应变为：,几何方程,由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。,以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，,同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：,联立得到几何
13、方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。,2、物理方程应变与应力之间的关系,(1) 空间问题的物理方程 每个面上有三个应力分量：一个正应力，两个剪应力，sz 垂直于xoy面并沿z向作用。 剪应力用t 表示，前表示垂直于哪一个轴，后表示沿哪个坐标轴移动，txy垂直于x轴沿y轴方向移动。,某一个截面上的外法线方向是沿坐标轴的正方向，这个截面称正面，面上的应力沿正向为正，负方向为负。相反，如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，截面为负面，面上的应力以沿坐标轴负向为正，正向为负。 空间问题有九个应力分量：三个正应力&六个剪应力 剪应力：txy = tyx tyz = tzy tzx = txz 空间
14、应力状态有6个独立应力分量，对应6个应变分量： 线应变：ex ey ez 角应变：gxy gyz gzx,胡克定律：在单向应力状态下，处于弹性阶段的物体应力与应变是线性关系，即： sx = Eex E弹性模量 G剪切弹性模量 m泊松比,(2) 平面应力问题的物理方程,在平面应力问题中，sz = tyz = txz = 0,平面应力问题的物理方程,可得出应力方程：,其中，,D平面应力问题的弹性矩阵，矩阵对称并与E，m有关,(3)平面应变问题的物理方程,平面应变的物理方程,平面应变问题中， ez = gyz = gxz = 0 tyz = tzx = 0； 由 ez = 0 sz = m(sx +
15、 sy),可得出应力方程：,两类平面问题类似：,得到平面应变问题的物理方程,平面应力问题,平面应变弹性矩阵,位移,应变,应力,几何方程,物理方程,作用于物体的外力分为体积力和表面力，简称体力和面力。体力是分布在物体体积中的力，如重力和惯性力。面力是分布于物体表面上的力，如接触力。,3、平衡方程应力与外力间的关系,三、虚功方程,弹性力学在能量法求解中，特别是在用有限单元法求解中，要用到变形体的虚位移原理和虚功方程。 所谓虚位移，是一种假想加到系统上，为系统的约束条件所允许的任意微小位移。而元功是指实际的力在虚位移上所作的功，元功也称为虚功。,三、虚功方程,弹性力学在能量法求解中，特别是在用有限单
16、元法求解中，要用到变形体的虚位移原理和虚功方程。 所谓虚位移，是一种假想加到系统上，为系统的约束条件所允许的任意微小位移。而元功是指实际的力在虚位移上所作的功，元功也称为虚功。,虚功原理及虚功方程,图2-8a示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程： 图2-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图： 综合可得： 即： 式(2-15)是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。,对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图中的PA和PB所作的功就不是发生在它
