《数学史》古希腊数学(3)

《《数学史》古希腊数学(3)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数学史》古希腊数学(3)（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、圆锥曲线发展简史,梅内赫莫斯（Menaechmus） 约公元前380-前320，古希腊时代,属于柏拉图学派。为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。,圆锥曲线的第一个人,他是古希腊数学家，为欧多克斯（Eudoxus）的学生，又是柏拉图学园中的成员。他是系统地研究圆锥曲线的第一个人，建立最早圆锥取线的概念，并分为三类来研究它，所以后来的学者称为梅内赫莫斯（Menaechmus）三曲线。,梅内赫莫斯从倍立方问题的研究中受到启发。他取三种圆锥（即圆锥顶角为直角、锐角和钝角的圆锥），用垂直于锥面一母线的平面截每种锥面，分别得到了拋物线、椭圆和双曲线的一支。,（见课本第43面）,梅内赫莫斯曾当过当时亚历山大

2、大帝的老师，亚历山大问梅内赫莫斯，是否可以专门为他把几何搞得简单一些。 梅内赫莫斯则回答说：“在大王的国家里有老百姓走的小路，也有国王您走的大道，然而在几何里却只有一条道路。“这个广为流传的故事出自古希腊晚期作家斯托比亚斯的著作之中。,故事,2.2.3 阿波罗尼奥斯,阿波罗尼奥斯 （Apollonius，公元前262前190）生于小亚细亚的珀尔加，就学于亚历山大城。后在Pergamum创建大学及图书馆。后返回亚历山大城执教。他所写数学专著极为丰富，至今有圆锥曲线、相切、轨迹、斜线等七部书传世。 人们将欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯为亚历山大数学三大师,时间约当公元前300年到前200年，这是

3、希腊数学的全盛时期或“黄金时代”,阿波罗尼奥斯（约公元前262前190）,阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学，但他最重要的数学成就是在前人的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论。圆锥曲线论就是这方面的系统总结。这部以欧几里得严谨风格(至今仍用来教不会的初学者的风格)写成的巨著，对圆锥曲线研究所达到的高度，直到17世纪笛卡尔、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。,圆锥概念: 从与圆不在同一平面上的一点作与圆相交的直线，如果该点固定，把所作直线沿圆周旋转，那么生成的曲面是一圆锥面，固定点是顶点，顶点到圆心的直线是轴，圆称作圆锥的底。,圆锥曲线,圆锥曲线论,圆锥曲线论是一部经典巨著，它可以说是代表了希

4、腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步。直到17世纪的B.帕斯卡和R.笛卡儿才有新的突破 。 此书集前人之大成，且提出很多新的性质。他推广了梅内赫莫斯（公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。 书中已有坐标制思想。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。他在解释太阳系内5大行星的运动时， 提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地心说提供了工具。,在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不同圆锥面导出圆锥曲线。阿波罗尼奥斯则第一次从一个对

5、顶锥得到所有的圆锥曲线（只要用一个平面曲截对顶锥即可，圆锥曲线有五种可能的类型椭圆、双曲线、抛物线、圆和直线），并给它们以正式的命名，现在通用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的。,亚历山大里亚时期的希腊数学,圆锥曲线 圆锥曲线分8卷，共487个命题。现存前7卷，共382个命题。 第一卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质。 从一个对顶（直圆或斜圆）锥得到3种圆锥曲线。双曲线有两个分支，也是他首先发现的。,亚历山大里亚时期的希腊数学,构造圆锥曲线的方法 第一步定义轴三角形ABC。 第二步利用截面定义圆锥曲线。,亚历山大里亚时期的希腊数学,第二卷 讨论双曲线渐近线的作法和性质，共轭双曲线的性质；圆锥曲线

6、的直径和轴的求法；有心圆锥曲线的中心的概念；怎样作满足某种条件的圆锥曲线的切线。,亚历山大里亚时期的希腊数学,第三卷 讨论了切线与直径所围成的图形的面积；论述了极点和极线的调和性质，讨论了椭圆和双曲线的焦点的性质。 第四卷 讲极点和极线的其它性质，并讨论了圆锥曲线相交的各种情况，证明了两条圆锥曲线至多相交于4点。,亚历山大里亚时期的希腊数学,第五卷 讨论了从一点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线段。 第六卷 讨论了圆锥曲线的全等、相似和圆锥曲线弓形的性质及作图。 第七卷 讨论有心圆锥曲线的两条共轭直径的性质。,圆锥曲线论中包含了许多即使是按今天的眼光看也是很深奥的结果，尤其突出的是第5卷关于从定

7、点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，其中实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念，它们是近代微分几何的课题。 第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极限的调和性质的论述，则包含了射影几何的萌芽思想。,总评,圆锥曲线论可以说是希腊演绎几何的最高成就。阿波罗尼奥斯用纯几何的手段达到了今日解析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的。 另一方面，这种纯几何的形式，也使其后数千年间的几何学裹足不前。几何学中的新时代，要到17世纪，笛卡尔等人打破希腊式的演绎传统后，才得以来临。,2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落,通常从公元前30-公元6世纪的这一段时期，称为希腊数学的“亚历山大后期”。,亚历山大后期的希腊几

8、何，已失去前期的光辉。这一时期开始阶段唯一值得一提的是几何学家海伦（Heron，公元前1世纪-公元1世纪间），代表作量度，主要讨论各种几何图形的面积和体积的计算，其中包括后来以它的名字命名的三角形面积公式,（ 为三角形面积， 为边长， ），其实这一公式最先为阿基米德所发现。,(1) 几何: 海伦量度 (2) 三角学: 托勒玫大成 (3) 算术与代数: 丢番图算术 (4) 帕普斯数学汇编:希腊数学的安魂曲 希帕蒂娅之死(417A.D.):希腊数学的终结 亚历山大图书馆被焚 47 B.C. 凯撒; 392 A.D. 基督教徒; 640 A.D. 回教徒,这一时期的主要成就,海伦,海伦，古希腊数学家

9、、力学家、机械学家。生平不详。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物理学等课程。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。 海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传。主要著作是量度论一书。该书共3卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷第8题给出著名的已知三边长求三角形面积的海伦公式。,亚历山大后期和希腊数学的衰落,他的成就还有：正3到正12边形面积计算法；长方台体积公式；求立方根的近似公式等。他在另一著作测量仪器中描述了一种类似现代经纬仪的仪器，并介绍如何使用它去解决各种测量问题。 他发明的各种精巧器

10、械，比理论上的成就更为人们所推崇，主要有气转球（被称为世界上第一个蒸汽机）、自动售货机、灭火器、水风琴、水钟等。其它著作还有气体力学、武器制造法、几何、测体积法等。,海伦公式,量度共三卷 斜三角形面积 已知三角形的三条边求其面积的海伦公式.,亚历山大里亚时期的希腊数学,圆内接正多边形面积与边长的关系 依次计算正三角形、正五边形、六边形、正十二边形的面积与边长的关系，得出圆内接正多边形面积，从而估测圆周率为3. 圆周率 海伦借助阿基米德的结论计算密率为 即,亚历山大里亚时期的希腊数学,弓形面积 其推导思路是 （1）取弧AB，BC中点M，N，得 （2）同理，继续分割，得弓形面积 海伦下结论：“如果

11、计算 的面积，并且增加三分之一，我们将得到极为接近的弓形面积，即 ”,亚历山大里亚时期的希腊数学,求整数平方根的近似值 设 不是完全平方数 ，则先取 作为 的第一近似值，然后取 ，再取 等等，通过迭代过程，求得 较好近似值。,亚历山大里亚时期的希腊数学,用数值方法解决代数问题 给定一正方形，已知其面积与周长之和为896，求其一边长。 首先将其归结为方程 然后在方程两边加4配成完全平方， 最后将其开方而求其数值解。,托勒密,相传他生于埃及的一个希腊化城市赫勒热斯蒂克。古希腊天文学家、地理学家和光学家。 一生著述甚多。著有天文学大成（主要论述了他所创立的地心说及地理学指南（主要论述地球的形状、大小

12、、经纬度的测定，以及地图的投影方法）。 通过系统的天文观测，测算出月球到地球的平均距离为29.5倍于地球直径，这个数值在古代是相当精确的。对几何学也有研究。还著有光学(5卷)等。,Ptolemy (85 AD - 165),主要著作,托勒密著有四本重要著作：天文学大成（Almagest）、地理学(Geography)、天 文集(Tetrabiblos)和光学(Optics)。,天文学大成 500年的希腊天文学和宇宙学思想的顶峰统治了天文界长达13 个世纪。 他面对的基本问题是：在假设宇宙是以地球为中心的、以及所有天体以均匀的速度按完全圆形的轨道绕转的前提下，试图解释天体的运动。 无论这个体系存

13、在着怎样的缺点，它还是流行了1300年之久，直到15世纪才被哥白尼推翻。,天文学大成,天文学大成共13卷，天文和三角混在一起，第1卷侧重三角，后面各卷侧重天文，但内容不是数学性质。 第1卷编制一张从 到 的每隔 的弦表。,托勒密定理： 圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和。,托勒密: 三角学,正弦函数的定义：,弦表(相当于正弦三角函数表): 给出了(1/2) 0 到1800 每隔 (1/2) 0 的圆心角所对的弦的长度，相当于给出了从 00 到 900 每隔 (1/4)0 的角的正弦。,大成中的球面三角关系,两角和的正弦公式： 即 两角和的余弦公式： 即,半角公式： 即 分

14、析如下： AE=AB， CD2ACCF=CF（AC-AB）/2,托勒密定理 在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边之积的和。,（大家试着证明一下这个定理）,丢番图,丢番图，是古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家（约公元年，据推断和计算而知）丢番图是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。,丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对後来的数论学者有很深的影响。丢番图的算术是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。 现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。不过丢

15、番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。 从另一个角度看，算术一书也可以归入代数学的范围。代数学区别於其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想虽然未有现代方程的形式这几方面来看，丢番图的算术完全可以算得上是代数。,希腊数学自毕达哥拉斯学派後，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。 一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜於解决问题，而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被後人称为代数学之父不无道理。,丢番图 算术,最有名问题: 将一个已知的平方数分为两个平方数。 现代符号表述:已知平方数 z2 , 求数 x 和 y , 使 x2+y2=z2. 丢番图以 z2=16 来说明其解法: 设第一个平方数为x2, 则另一个平方数为16 - x2, 从而要求做到的是 16 - x2 是一个平方数 y2 . 令 y = m x - 4 , m 为某一整数, 4为16的根, 令m=2,于是有4 x2-16x+16=16