常用系统建模方法

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1、常用系统建模方法,主要参考资料 齐欢，王小平. 系统建模与仿真（第2版），第2章 姜启源, 谢金星 , 叶俊. 数学模型（第3版），第1章,1,常用系统建模方法,1.系统模型的概述 2.建模的逻辑思维方法 3.图解建模法 4.层次分析法 5.聚类分析,2,1. 系统模型的概述,从现实对象到数学模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,3,1. 系统模型的概述,从现实对象到数学模型 系统模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是认识、分析、设计、预测、控制实际系统的基础，也是解决系统工程问题不可缺少的技术手

2、段。 建立有效且可靠的系统模型是系统研究者的首要任务。 数学模型是系统模型的最主要和最常用的表示方式。,4,1. 系统模型的概述,数学模型与数学建模 数学模型（Mathematical Model） 对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 数学建模（ Mathematical Modeling ） 建立数学模型的全过程，包括表述、求解、解释、检验等。,5,1. 系统模型的概述,一个简单的数学模型：“航行问题” 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,6,用 x

3、 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时.,x =20 y =5,1. 系统模型的概述,一个简单的数学模型：“航行问题” 可以看出，上述过程的主要步骤如下： 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。,7,1. 系统模型的概述,数学模型的特点 模型的逼真性和可行性 模型的渐进性 模型的强健性 模型的可转移性,8,模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性,1

4、. 系统模型的概述,数学模型的分类 应用领域 人口、交通、经济、生态 数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性 确定和随机，静态和动态，离散和连续，线性和非线性 了解程度 白箱、灰箱、黑箱,9,1. 系统模型的概述,数学建模的基本方法 机理分析 根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。 测试分析（实验统计建模） 将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。 二者结合 用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数,10,1. 系统模型的概述,数学建模的基本步骤,11,1. 系统模型的概述,数学建模的基本步骤 1）模型准备 了解实际背景 明确建

5、模目的 搜集有关信息 掌握对象特征,12,形成一个比较清晰的“问题”,1. 系统模型的概述,数学建模的基本步骤 2）模型假设 针对问题特点和建模目的，作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 3）模型构成 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具,13,1. 系统模型的概述,数学建模的基本步骤 4）模型求解 利用各种数学方法、软件和计算机技术 解析解、仿真 5）模型分析 例如，对结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析 6）模型检验 与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性,14,2. 建模的逻辑思维方法,建模是一项复杂的思维活动，也可以

6、看成是一门艺术，因而既没有统一的模式，也没有固定的方法，需要多方面的能力 分析综合能力 抽象概括能力 想象洞察能力 运用数学工具的能力 通过实践验证数学模型的能力 通过实例研究，了解建模过程常用的思维方法，包括抽象、归纳、演绎、类比等。,15,2. 建模的逻辑思维方法,1)抽象 揭示事物的共性和联系的规律 忽略每个具体事物的特殊性，着眼于整体和一般规律 实例研究：椅子能在不平的地面上放稳吗？ 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。为什么？,16,椅子能在不平的地面上放稳吗？,问题分析 涉及的对象：地面，椅子 椅子的位置和调整 放稳：椅

7、子的四只脚着地 模型假设 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,17,椅子能在不平的地面上放稳吗？,模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来。 1）椅子位置和调整的表述 利用正方形（椅脚连线）的对称性 用（对角线与x轴的夹角）表示椅子位置 以中心为对称点，正方形绕中心的旋转对应椅子位置的调整,18,正方形ABCD绕O点旋转,椅子能在不平的地面上放稳吗？,模型构成 2）椅脚着地的数学表示 四只脚着地：椅脚与地面距离为零，距离是 的函数,19,正方形ABCD绕O点旋转,四个

8、距离(四只脚),两个距离,f()： A, C 两脚与地面距离之和,g() ：B, D 两脚与地面距离之和,椅子能在不平的地面上放稳吗？,模型构成 在此基础上，用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来：,20,f() , g()是连续函数,对任意, f()和g()至少一个为0,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,椅子能在不平的地面上放稳吗？,模型构成 问题的形式化描述：,21,已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,椅子能在不平的地面上放稳吗？,模型求解 主要

9、思路,22,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,2. 建模的逻辑思维方法,2)归纳 从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式。 立足于观察、经验或实验的基础上的；依据若干已知的不完全的现象推断尚属未知的现象。 实例研究：开普勒第三定律的发现,23,开普勒第三定

10、律的发现,开普勒第一定律 也称椭圆定律、轨道定律、行星定律。每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律 在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。,24,开普勒第三定律的发现,开普勒第三定律 也叫行星运动定律：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴a的立方与周期T的平方之比是一个常量。,25,k为开普勒常数,2. 建模的逻辑思维方法,3)演绎 由一般性的命题推出特殊命题的推理方法。 典型的，如公理化的几何学 实例研究：牛顿万有引力定律的演绎,26,牛顿万有引力定律的演绎,模型假设 开普勒第一、二、三定律

11、牛顿运动第二定律 a=F/m (F=ma)：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。,27,极坐标系 (r,),太阳 (0,0),行星位置：向径,牛顿万有引力定律的演绎,模型假设,28,a长半轴, b短半轴, e离心率,1）行星运行轨道,3）行星运行周期 T,2）单位时间 扫过面积为常数 A,m 行星质量, 绝对常数,4）行星运行受力,模型构成,29,向径 的基向量（平面直角坐标）,x,y,30,万有引力定律,需证明 4A2/p =kM （与哪一颗行星无关）,A单位时间 扫过面积,2. 建模的逻辑思维方法,4)类比 在两类不同的事物之间进行对比，找出

12、若干相同或相似点之后，推测在其它方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。 实例研究 1）机械系统和电路系统的类比。 2）方式算法：遗传算法、蚁群优化算法、人工神经网络、粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization),31,PSO算法,PSO是一种基于群体智能的进化计算方法,由Kennedy和Eberhart博士于1995年提出。 基本原理,32,将最优解的搜索类比于鸟群的捕食行为。 设想一群鸟在随机搜寻食物，在这个区域里只有一块食物，所有鸟都不知道食物在哪里，但是他们知道当前的位置离食物还有多远，那么找到食物的最优策略是什么呢?最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的

13、鸟的周围区域，根据自己飞行的经验判断食物的所在。,基本原理 在PSO中，把一个优化问题看作是在空中觅食的鸟群，那么“食物”就是优化问题的最优解，而在空中飞行的每一只觅食的“鸟”就是PSO算法中在解空间中进行搜索的一个“粒子”(Particle)。 粒子在搜索空间中以一定的速度飞行，这个速度根据它本身的飞行经验和同伴的飞行经验来动态调整。所有的粒子都有一个被目标函数决定的适应值(fitness value)，这个适应值用于评价粒子的“好坏”程度。 每个粒子知道自己到目前为止发现的最好位置（particle best，记为pbest）和当前的位置，pbest就是粒子本身找到的最优解，这个可以看作是

14、粒子自己的飞行经验。 除此之外，每个粒子还知道到目前为止整个群体中所有粒子发现的最好位置(global best，记为gbest)，gbest是在pbest中的最好值，即是全局最优解，这个可以看作是整个群体的经验。,33,算法描述,34,假设在一个N维空间进行搜索，粒子i的信息可用两个N维向量来表示： 第i个粒子的位置可表示为 速度为 在找到两个最优解后，粒子即可根据下式来更新自己的速度和位置：,：是粒子i在第k次迭代中第d维的速度； ：是粒子i在第k次迭代中第d维的当前位置；,(1),(2),w是惯性因子，c1和c2是学习因子或加速系数,算法描述,35,2. 建模的逻辑思维方法,5)移植 将

15、一个或几个学科领域中的理论和行之有效的研究方法、研究手段移用到其它领域当中去，为解决其它学科领域中存在的疑难问题提供启发和帮助。 实例研究 1）论文评价与谷歌PageRank方法 2）计算圆周率的浦丰投针模型,36,浦丰投针模型,37,x,矩形G,阴影g,=2/,3. 图解建模法,图解建模法是一种采用点和线组成的、用以描述系统的图形进行建模的方法，可用于描述自然界和人类社会中的大量事物和事物之间的关系。 实例研究 城市公共交通网络模型 物品交换模型,38,城市公共交通网络模型,39,物品交换模型,问题 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。,4

16、0,用x, y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图：,若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y),都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y),分析与建模,41,甲的无差别曲线,如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的，,线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，,比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。,42,无差别曲线族的性质：,单调减(x增加, y减小),下凸(凸向原点),互不相交,在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;,在p2点占有y少、x多，就要以较多的 x换取较少的 y。,