反渗透膜元件及膜系统的数学模型

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1、2 5 6 新膜过程研究与应用研讨会论文集 2 0 0 8 年1 2 月 反渗透膜元件及膜系统的数学模型 靖大为1 ，罗浩2 ，杨丽萍1 ，罗美莲1 ( 1 天津城市建设学院膜技术研究中心，天津3 0 0 3 8 4 ； 2 北京万侯环境技术开发有限公司，北京1 0 0 0 8 5 ) 摘要：介绍了反渗透膜元件性能指标的差异，讨论了建立性能各异膜元件系统运行模型的 必要性，给出了单支反渗透膜元件的运行数学模型，分析了并联及串联膜元件的运行数学模 型，从而建立了各类膜系统结构的通用数学模型 在给水温度、给水盐量、给水压力与元件收率等 特定测试条件下，反渗透膜元件的技术参数包括透 水量、脱盐率与膜

2、压降三项指标干式膜厂商给出了 膜元件透水量与脱盐率的标准值，湿式膜厂商可提 供每支膜元件前两项指标的测试值，膜清洗企业甚 至可以得到每支被清洗膜元件的全部三项指标测试 值由于生产工艺的原因，新膜元件的产水量可在标 准值基础上变化1 5 ，脱盐率指标可以有0 5 的误差，膜压降的误差约为1 0k P a ；而旧膜元件性 能指标的差异更大1 在反渗透系统中，不同性能膜元件在膜堆中的 不同排列位置，将造成膜系统脱盐率等性能指标的 较大差异 2 2 为优化不同性能膜元件的排列位置， 首先需要准确地模拟系统的运行工况，而其基础是 建立准确的系统运行模型 3 3 ，并据此编制准确模拟 系统运行的计算软件

3、各膜厂商在推出膜产品的同时，也推出了相应 的系统设计软件，但各类软件仅能模拟相同指标元 件的系统性能因此，现行软件只能粗略模拟新膜系 统或性能整体衰减的旧膜系统的运行工况，而不能 模拟性能各异的新旧膜元件系统 为了开发更强功能的系统模拟软件，本文首先 讨论不同性能膜元件串联及并联形成的膜系统的运 行模型，相应的模拟软件将另文讨论 1微元膜过程的数学模型 反渗透的膜过程属于典型的传动与传质合成的 渗透流过程在膜元件某截面微元中，因膜两侧的纯 驱动压差产生透水通量，因膜两侧的盐浓度差产生 透盐通量描述膜微元中膜传递过程的模型为： f q p = A P s e p ) 一( 丌，一7 f p )

4、L ( m z h ) ，、 【q s = BX C 厂G n a g ( m 2 h ) 一 式中，q 。为透水通量；q ，为透盐通量；A 为水透过 系数，L ( m 2 h M P a ) ；B 为盐透过系数，L ( m 2 h ) ；e s 为膜给水侧压力，M P a ；匕为膜产水侧压力， M P a ；丌，为膜给水侧渗透压，M P a ；7 r p 为膜产水侧渗 透压，M P a ；C r 为膜给水侧盐浓度，r a g L ；G 为膜 产水侧盐浓度，m g L 此数学模型仅限于膜微元，而描述膜元件的分 离过程尚需建立严格的微分方程组，但工程领域中 常用简化的非线性方程组表征膜过程 2

5、单支膜元件的运行模型 单支膜元件简化模型的基本概念是用膜元件首 末端参数的均值代替元件内参数渐变过程的均值，从 而将描述元件性能的微分方程组改为非线性方程组 在图1 所示膜元件的运行参数示意图中，用元 件首末端参数的均值表征整个膜元件的参数时，膜 元件的透水流量Q 。与透盐流量Q 可分别如式( 2 ) 及式( 3 ) 所示 Q p = A ( e s 一学一B 一元。+ 而) ( L h ) Q = 1 3 ( 乙一已) 收稿E t 期：2 0 0 8 1 1 1 5 作者简介：靖大为( 1 9 5 4 一) ，男，天津市人，硕士( d a v i d j 5 9 9 6 s i n a c

6、o r n ) ( 2 ) ( 3 ) 论文集靖大为等：反渗透膜元件及膜系统的数学模型 2 5 7 式中，A 为水透过系数，L ( h M P a ) ；B 为盐透过系 数，L h ；q 为透水流量，L h ；Q ，为透盐通量，r n g h ；e f 为给水压力，M P a ；B 为产水压力( 一般设B = O ) ，M P a ，式中其他参量均可表示为上述参量的函 数 图1 膜元件运行参数不意图 根据定义，膜元件的透水盐浓度C 。还可表示 为： G = Q Q 声( m g L ) ( 4 ) 2 1 式( 2 ) 中的其他参量分析 1 ) 反渗透膜元件的首末端压力差P 庀： P 忙= k

7、 1 Q ：( S P a ) ( 5 ) 式中，k 1 与k 2 为表征膜元件给浓水道阻力特征的 常数，石尼为元件给浓水平均流量 歌：鱼笋一Q r + Q ，r + Q p ：Q ，：譬 = 垒Y 一亟2 ( L h ) ( 6 ) 式中，Q ，为元件给水流量，L h ；Q c 为元件浓水流 量，L h ；y = Q 口Q ，为元件回收率 将式( 6 ) 代入式( 5 ) ，可得P 尼 2 ) 膜元件首末端膜表面平均渗透压磊： 芦、 元。= 【誊胪( M e a ) ( 7 ) 这里，膜元件给浓水侧平均浓差极化度p ( k 3 为表征膜元件浓差极化度特征的常数) ： p = ，y ( 无量纲

8、) ( 8 ) 且有给水的渗透压7 f ，： 丌r = 1 1 2 ( 2 7 3 + t ) m j = 正( c f ，t ) ( M P a )( 9 ) 式中，m i 为i 类离子浓度；t 为水体温度，；即给 水渗透压是给水含盐量及温度的函数 膜元件始末端平均浓度0 尼： k = 亟笋= 譬( 1 + 岳) ( r a g L ) ( 1 0 ) 根据盐流量平衡方程q C ，= Q 局+ Q c C c ，可 得c f = ( Q F f Q p 0 ) Q c ，所以 堡一垒一蛆一垒一鱼! C ，Q 。Q 。C ，Q f Q p( Q ，Q p ) C ， ：1 - ( Q , Y

9、一) ( Q p C f )(11)1 Y 一 、- 工， 因此 骞= 号( 1 + 弘鼍寄臀产m ， 将式( 8 ) 、( 1 2 ) 代人式( 7 ) ，可得 和研鼍崭擀护( M P a ) 丌m 2 研云覆茄：万一幽1 ” ( 1 3 ) 3 ) 膜元件产水侧渗透压元。： 砟磊毒2 己菀( 胁) ( 1 4 ) 2 2 式( 3 ) 中的其他参量分析 1 ) 反渗透膜元件给浓水侧膜表面盐浓度e 。： C 。= G 斥卢( m g L ) ( 1 5 ) 将式( 8 ) 、( 1 0 ) 、( 1 1 ) 代入式( 1 5 ) ，可得e 。 2 ) 反渗透膜元件产水侧含盐量q ： 己q =

10、 差( m g 几) ( 1 6 ) 2 3 反渗透膜元件数学模型 将相关表达式代人式( 2 ) ，则有式( 1 7 ) ；将相关 表达式代入式( 3 ) ，则有式( 1 8 ) ： 岛= A P ，一百k l ( 专亨龟) L 一 吁盟2C群硷p(1Y ( 一若) 训 e , c ，x 7 V 一) 1 Q 妨c J ( 1 7 ) Q = B ( 攀萄挚，y 一爰岵， 式( 1 7 ) 与式( 1 8 ) 可表示为： fQ一=A(q，Qs-r ) IP 州 ， 亿：B f B ( Q p ，酬- c - ，y f f ( 1 9 ) 式( 1 9 ) 中，丌，为C r 的函数不予独立表征，

11、C r 为给 水条件，P ，与y 为工艺条件两式中其余四个变量 A 、B 、Q ”Q 构成非线性方程组当Q p 与Q 作为 测试量给出时，分别求解显函数的式( 1 9 ) ，可得出待 求变量A 与B 而本文主要讨论的是当A 与B 作 为已知量给出时，联立求解隐函数的式( 1 9 ) ，可得出 待求变量Q 。与Q 图2 给出了反渗透膜元件参数及膜系统结构的 示意图 2 5 8 膜科学与技术 2 0 0 8 焦 ( a ) 膜元件参数并联结构( c ) 串联结构( c ) 串并联结构 图2 反渗透膜元件参数及膜系统结构示意图 3并联膜元件运行模型 裟竺相 Q 性能不同的膜元件表现为元件中常数k l

12、 、k 2 与 忌3 的不同，特别是A 与B 两指标不同 各并联元件系统的重要特征是各元件的回收率 不同： = A ( 得弓) ( 2 1 ) 因此，z 支性能不同膜元件并联运行系统的数 学模型可表示为： = A f a ( 锄，Q 矗) fP , c s ( i = 1 ，2 ，3 ，z ) 瓯= B i f B ( 啄，Q 矗) Ic r ( i = 1 ，2 ，3 7 1 ) k li ( Q f ；一盟2 广呐( 。一譬广1 ( i - 1 2 3 _ 1 ) Q 2 Q 一S = y 在已知A i 与B f 条件下，方程组( 2 2 ) 中共有3 行 个非线性隐式方程，有Q 鼻，Q

13、，Q 矗等3 咒个变量， 且有P ，C ，y 等3 个常数该组方程可解 4串联膜元件运行模型 串联系统的重要特征是各元件的回收率不同， 而咒支元件总回收率为定值： 啄锄( i 歹) ；鲰啄= y f = 1 ( 2 3 ) 前元件给水压力减去前元件膜压降为后元件给 水压力： P 疗= B f 一1 一P 斥i l ( 2 4 ) 前元件给水盐量等于前元件透水盐量与后元件 给水盐量之和： 啄鲰：+ c z i + 1 Q ，i + 1 ( 2 5 ) 前元件给水流量等于前元件透水流量与后元件 给水流量之和： Q 疗= Q 埘+ Q r f + 1 ( 2 6 ) 因此，咒支性能不同膜元件串联运行

14、的数学模型为： Q 历= A i f a ( 如，略，Q 五，Q k ，Q 矗) ( i = 1 ，2 ，3 ，1 ) 瓯= B i f B ( c a ，Q 矗，Q 硝，瓯) ( i = 1 ，2 ，3 7 “ 1 ) = P i ；P ，= B H 一愚。H ( Q ，H 一垒尹) 屯H ( i = 1 ，2 ，3 以)( 2 7 ) = c ，；啄= 十C ，f + 1 Q ，卅( i = 1 ，2 ，3 一1 ) 鲰= y ；啄= + Q ，( 扛1 , 2 ，3 竹一1 ) 在已知A i 与B f 条件下，方程组( 2 7 ) 中共有5 咒 个非线性隐式方程，具有P 盔，Q 矗，Q

15、，Q 西等 5 n 个变量，且有乃，C ，y 等3 个常数，故该组方 程可解 5串并联膜元件运行模型 膜系统的串并联结构中，串并联的基本单元不 是膜元件，而是多支元件串联装于其中的膜容器为 了表述方便，这里以膜元件的运行参数代表膜容器 论文集靖大为等：反渗透膜元件及膜系统的数学模型 2 5 9 的运行参数，即假设每支膜容器中仅装一支膜元件， 关于多支装容器的问题可参照串联系统处理在串 并联膜系统结构中，设前段并联了咒个膜元件，后 段并联了m 个膜元件，且有，l m = A 厶( ，Q , i ) Iv , c ，( i = 1 ，2 ，3 咒) 瓯= B f B ( Q 矗，瓯) Ic ，( i = 1 , 2 ，3 咒) k li ( Q ，；一譬) 屯i = k li + 1 ( ，一挚) 屯( i 1 ，2 3 川 = a jX 厶( ，勖，锄，鸱，) ( J = 1 ，2 ，3 m ) Q 巧= 马X 厶( ，劬，Q 巧) ( J = 1 ，2 ，3 m ) ( 2 8 ) k l j ( Q ，一譬) 屯j = k l j + l ( 骱。一挚) 屯川( J - l 2 3 一川 一Q = ；c ，一( ) = 勖锄 P ，一愚。广(