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1、第二章 系统数学模型,数学模型：描述系统特性，揭示其结构、参数与动态性能的关系,机械工程控制中数学模型的几种形式:,时域中有：微分方程、状态方程和差分方程；,复数域中有：传递函数、结构图；,频域中有：频率特性等。,本章主要内容：,列写微分方程的一般方法；,非线性微分方程的性线化；,传递函数的概念、方框图及其简化。,第一节 系统微分方程,建立数学模型的方法：,分析法,依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。,人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,实验法,第二章 系统数学模型,第一节 系统微分方程
2、,线性系统与非线性系统：,线性定常系统：,线性时变系统：,非线性系统：,能用线性微分方程描述的系统是线性系统否则是非线性系统。,第二章 系统数学模型,K-M-C系统：,线性系统的性质:,第一节 系统微分方程,线性系统的齐次性和叠加性：,线性系统在多个输入的作用下， 其总输出等于各个输入单独作用 下所产生的输出之和。,线性系统的微分特性：,线性系统的积分特性：,线性系统的频率保持性：,信号通过系统后不会产生新的频率分量，尽管分量的大小和相位会发生变化。,第二章 系统数学模型,第一节 系统微分方程,列写微分方程式的一般方法：,1、确定系统的输入量、输出量。（给定输入量和扰动量）；,2、按照信号的传
3、递顺序，列写出各个环节的微分方程。,3、消去中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程；,4、变换成标准形式。将与输入有关的项写在微分方程的右边， 与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂 排列。,第二章 系统数学模型,典型元件所遵循的物理定律,第一节 系统微分方程,机械系统：,第二章 系统数学模型,电网络：,典型元件所遵循的物理定律,第一节 系统微分方程,第二章 系统数学模型,例2-1：试列出如图所示机械系统的微分方程。,微分方程举例：,第一节 系统微分方程,1、明确系统的输入和输出：,输入为f，输出为x。,2、根据牛顿第二定律列出原始微分方程：,3、整理：,第二章 系统数学
4、模型,例2-2：试列出如图所示机械系统的微分方程。,1、明确系统的输入和输出：,输入为T，输出为x（t）。,2、列出原始微分方程：,3、消除中间变量，并整理得：,J 旋转体转动惯量；K1 扭转刚度系数; K2 刚度系数 B1、粘性阻尼系数; B2、粘性阻尼系数;r:旋转体转动半径,微分方程举例：,第一节 系统微分方程,第二章 系统数学模型,输入,输出,例2-3：试列出如图所示电气系统的微分方程。,1、明确系统的输入和输出：,输入为ui（t），输出为uo（t）。,2、列出原始微分方程,3、消除中间变量，并整理得：,uo(t),或,微分方程举例：,第一节 系统微分方程,第二章 系统数学模型,例2-
5、4：试列出如图所示电气系统的微分方程。,1、明确系统的输入和输出,输入为ui，输出为uo。,2、列出原始微分方程,负载效应,3、消除中间变量，并整理得：,本例中如果看成两个RC电路,不考虑后一 级RC电路的负载作用,结果就错误了。,微分方程举例：,第一节 系统微分方程,第二章 系统数学模型,例2-4：直流电机驱动系统。,1、明确系统的输入和输出,输入为ua，干扰输入为ML, 输出为。,2、列出原始微分方程,电枢回路电压平衡方程为:,kd为电动机的反电动势系数,2.1.1,微分方程举例：,第一节 系统微分方程,第二章 系统数学模型,M,设J为转动部分折算到轴上的总的转动惯量：,力矩平衡方程为:,
6、Km为电动机电磁力矩常数。,3、消除中间变量：,则电机转子运动方程为:,两方程间的联系：,第二章 系统数学模型,M为电动机的电磁转矩：,4、整理得：,5、标准形式：,第二章 系统数学模型,例2-5：直流电机驱动系统。,若电机处于平衡状态，有：,（静态数学模型,电机处于平衡状态，对应的输入量和输出量分别表示为：,若某一时刻，输入量发生变化，其变化值为： ，电机的平衡状态 被破坏，输出亦发生变化，其变化量为： ，这时，输入量和输出量可表 示为增量形式：,第一节 系统微分方程,微分方程的增量化表示：,第二章 系统数学模型,化简并整理得：,第二章 系统数学模型,讨论1：,1、增量方程与实际坐标方程形式
7、相同；,2、当平衡点为坐标原点时两者等价，否则两者不等价；,3、增量方程式的意义是：对于定值控制系统，总是工作在 设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡 点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态 特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。,第二章 系统数学模型,讨论2：,若ML=0：,若ua=0：,在系统同时具有二种输入作用的情况下，该线性系统遵循 叠加原理。,非线性方程线性化条件：,1、系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范 围很小；,2、非线性函数是连续函数，即函数中各个变量在平衡点处 有导数或偏导数存在；,1、确定预定工作点；,2、在工作点
8、附近将非线性方程展开成Taylor级数形式；,非线性方程线性化方法：,3、忽略高阶项；,4、表示成增量方程形式；,第一节 系统微分方程,非线性系统的线性化：,第二章 系统数学模型,非线性系统的线性化的实质是在平衡点附近用增量方程描述这个系统。,例2-6：液压伺服机构。,1、明确系统的输入与输出： 输入为x，输出为y,2、列写原始方程：,3、非线性方程线性化：,、确定系统的预定工作点：设为（x0，p0）,、展开成Taylor级数形式：,、表示成增量化形式：,第一节 系统微分方程,非线性系统的线性化处理：,第二章 系统数学模型,2、 作用在负载上的力：AP=A(P1-P2）,图 q, p, x三者
9、线性关系,由于：,于是：,、P代入动态方程：,第二章 系统数学模型,讨论：,3、非线性项线性化后得到的微 分方程是增量形式的微分方程。,2、线性化的结果与系统预定的 工作点有关。工作点不同所得的 线性方程的系数不同。,1、非线性项线性化后必须满足 连续性和小偏差的条件。,第一节 系统微分方程,非线性系统的线性化处理：,第二章 系统数学模型,第二节 系统传递函数,传递函数是复数域描述线性系统的数学模型,线性定常系统微分方程的一般形式为:（其中Xo(t)为输出，Xi(t)为输入）,在零初始条件下，方程两边分别取拉氏变换，有：,于是有：,第二章 系统数学模型,传递函数的定义:,在零初始条件下，线性定
10、常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。,传递函数的特点：,第二章 系统数学模型,1、传递函数是关于复变量S的复变函数； 2、传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函数的分子反映了系统与外界的联系； 3、当输入确定时系统的输出完全取决于系统的传递函数； xo(t)=L-1Xo(s)=L-1G(s) Xi(s) 4、物理性质不同的系统可以有相同的传递函数（相似系统）,传递函数的零点、极点和增益决定着系统的瞬态性能和稳态性能,第二章 系统数学模型,第二节 系统的传递函数,传递函数的零、极点模型:,零点：,极点：,使用传递函数模型后，对系统的研究 可转化为对
11、系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究。,由于Xi(s)=1/s, 由拉氏变换终值定理得:,放大系数（增益）：系统稳态时输出与输入之比；,=,第二节 系统的传递函数,例2-7：求图示系统的传递函数。,1、确定系统的输入和输出量：u1，u2,2、列定原始微分方程：,3、在零初始条件下进行拉氏变换：,4、消除中间变量并整理得：,于是有：,第二章 系统数学模型,典型环节的传递函数（比例、惯性、积分、微分、振荡、延时等环节）,第二节 系统的传递函数,1、比例环节：输出量与输入量成正比。,动力学方程：,传递函数：,特点：,输入量与输出量成正比；不不失真，不延时。,例如：,第二章 系统数学模型,第二节
12、系统的传递函数,2、惯性环节：,动力学方程：,传递函数：,特点：,具有一个储能元件和一个耗能元件， 在阶跃输入下，输出不能立即达到稳态值。,例如：,第二章 系统数学模型,第二节 系统的传递函数,3、微分环节：输出正比于输入的微分。,动力学方程：,第二章 系统数学模型,传递函数：,1）、微分环节一般存在于其它环节中，不能单独存在。 2）、微分环节的输出反映输入的变化趋势，强化了系统噪声；,特点：,第二章 系统数学模型,显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。,例：无源微分网络,例：机械-液压阻尼器,图中A为活塞的面积，K为弹簧刚度，R
13、为节流阀液阻，P1和P2 分别为活塞左右腔油的工作压力，xi为活塞位移，xo 为油缸位移。,工作原理：当活塞作阶跃位移xi时，油缸瞬时位移xo在初始时刻与xi相等，当弹簧被压缩时，弹簧力加大，油缸右油缸压力P2增大，迫使液压油以流量q通过节流阀反流到油缸左油腔，从而使油缸左移，弹力最终使Xo减到零，油缸返回到初始位置。,油缸压力平衡方程：,通过节流阀的流量为：,由上两式得：,方程两边取拉氏变换：,故传递函数为：,令：,3)、微分环节的控制作用：,例：图示比例环节中，比例系数（K=-1）：,并联微分环节所产生的附加输出：,传递函数：,在单位速度信号(u（t）=r(t)=t)作用下在 时域的输出u
14、o1(t)即为-450的斜线。,使输出提前,第二章 系统数学模型,在系统中加入微分环节引起输出超前。,根据叠加性：,一阶微分环节：,3)、一阶微分环节,传递函数：,第二章 系统数学模型,其中：,第二节 系统的传递函数,4、积分环节环节：输出正比于输入对时间的积分。,动力学方程：,1）输出具有时间累 加特性； 2）输出滞后作用； 3）具有记忆功能,系统中凡有存储或 积累特点的元件都 有积分特性.,特点：,设：,或：,输入,第二章 系统数学模型,例如：,第二节 系统的传递函数,5、振荡环节（二阶振荡环节）：,传递函数：,或：,式中 无阻尼固有频率 为阻尼比， 为时间常数。,动力学方程：,第二章 系
15、统数学模型,一般含有二个储能元件、一个耗能元件。,5、振荡环节（二阶振荡环节）：,特点：,、当 时，输出无振荡，非 振荡环节是二个一阶惯性环节的 组合。,传递函数：,或：,第二节 系统的传递函数,第二章 系统数学模型,式中 无阻尼固有频率 为阻尼比， 为时间常数。,、当 时，输出存在振荡， 且 越小振荡越剧烈；,解：建立力距平衡方程：,例如：,与标准式比较：,方程两边取拉氏变换：,例如:,L-R-C电路,解：建立电路方程：,方程两边取拉氏变换：,整理得：,与标准式比较：,传递函数：,6、延时环节（迟延环节）：,延迟环节的阶跃响应,第二节 系统的传递函数,第二章 系统数学模型,例如：,扎钢时的带
16、钢厚度检测示意图,输出滞后于输入时间 ，但不失真地反映输入的环节。,1） 传递函数框图中的环节是根据动力学方程来划分的，一个环节并不一定代表一个物理元件或物理子系统，一个物理元件或物理子系统也不一定就是一个传递函数环节（也许几个物理元件的特性才组成一个传递函数环节（环节间有负载效有应） ，也许一个物理环节的特性分散在几个传递函数环节中。）,几点说明：,2） 注意区别表示系统结构的物理框图和分析系统的传递函数 框图。,3） 同一元件在不同的系统中作用不同时，其传递函数可以不同。,第二节 系统的传递函数,第二章 系统数学模型,（如：动力学方程： 取输入为位移 是 微分环节，若取速度 为输入 是就成比例环节了。）,注意：求取传递函数时,一般假设网络输出端有无穷大的负载阻抗,输入内阻为零,否则应考虑负载效应.,图2-11中,两个RC网络不
