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1、合肥工业大学 硕士学位论文 压缩感知及其在图像处理中的应用 姓名：刘国庆 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：林京 2011-04 压缩感知及其在图像处理中的应用压缩感知及其在图像处理中的应用 摘 要摘 要 本文系统地介绍了压缩感知这一信号处理技术中新兴领域的有关基 本概念，分析了现有的信号重构方法的优缺点。根据二维图像小波变换 系数层的特点和现实应用中稀疏度未知的情况，提出了基于单层小波变 换的自适应压缩感知新算法，保留图像低频系数，只针对高频系数进行 测量。详细地说，在图像重构时，利用稀疏度自适应匹配追踪算法对高 频系数或逐行或逐列或整体进行恢复，再进行小波逆变换重构图像。仿 真
2、结果表明，与单层小波变换的非自适应压缩感知算法相比，解决了稀 疏度未知情况下的图像恢复问题，且重构图像质量也得到很好的保证。 在相同的采样率下，PSNR 相差不过 2dB。 关键词：关键词：压缩感知；稀疏度；小波变换；稀疏度自适应匹配追踪 Compressed Sensing and Its Applications in Image Processing Abstract In this thesis we systematically introduce the related basic concepts about compressed sensing, a newly-develop
3、ing field in signal processing techniques and analyze the advantages and disadvantages of the current algorithms for the signal reconstruction. According to the properties of wavelet transform sub-bands and the unknown sparsity in many practical applications, an improved adaptive compressed sensing
4、algorithm based on the single layer wavelet transform was proposed, which only measured the high-pass wavelet coefficients of the image but preserving the low-pass wavelet coefficients. For the reconstruction, by using sparsity self-adaptive matching pursuit (SAMP) algorithm, high-pass wavelet coeff
5、icients could be recovered by row, column or whole of the measurements. Then the image could be reconstructed by the inverse wavelet transform. Compressed with the original compressed sensing algorithm based on the single layer wavelet transform, simulation results demonstrated that the proposed alg
6、orithm solve the problem of image reconstruction in the case of unknown sparsity, and the quality of the recovered image is guaranteed. For the same sampling rate, the PSNR difference of the proposed algorithm and the original algorithm is not greater than 2dB. KEY WORDS：compressed sensing; sparsity
7、; wavelet transform; SAMP 插图清单插图清单 图 2.1 传统的信号采集压缩框架 4 图 2.2 压缩感知理论框架 . 4 图 3.1 OMP算法概念图. 14 图 3.2 ROMP算法概念图 14 图 3.3 CoSaMP算法概念图 . 15 图 3.4 SAMP算法概念图. 15 图 3.5 不同稀疏度K下的信号精确恢复率 . 17 图 3.6 不同感知向量数目M下的信号精确恢复率 . 17 图 4.1 256256图像在采样率为20%时的重建图像. 20 独独 创创 性性 声声 明明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我
8、所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 合肥工业大学 或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：刘国庆 签字日期：2011 年 4 月 22 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 合肥工业大学 有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。 本人授权 合肥工业大学 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库 进行检索，可以采用
9、影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文者签名：刘国庆 导师签名：林京 签字日期：2011 年 4 月 22 日 签字日期：2011 年 4 月 22 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 电话： 通讯地址： 邮编： 1 第第1章章 绪论 绪论 1.1 研究背景和意义研究背景和意义 随着信息技术的飞速发展，人们对信息的需求量与日俱增，而传统的信号 数据采集过程遵循的 Nyquist 采样定理（又称香农采样定理）则要求采样率必 须大于或等于信号带宽的两倍以上才能无失真地从离散信号中恢复出原始信 号。 Nyquist 采样定理于 1928
10、 年由美国电信工程师 H.Nyquist 首先提出， 于 1948 年由信息论创始人 C.E. Shannon对这一定理加以明确说明并正式作为定理引用。 该理论在传统的信号处理框架中支配着几乎所有的信号/图像等的获取、存储、 处理及传输等。在数据获取和处理方面，在许多实际应用中（如超宽带通信、 超宽带信号处理、核磁共振、空间探测） ，Nyquist 采样硬件成本比较昂贵，数 据获取效率低下，在某些情况下甚至无法实现。在数据存储和传输方面。传统 的方法是首先依照 Nyquist 方式获取数据，然后将获取的数据进行压缩，最后 将压缩后的数据进行存储或传输，该方法浪费了大量的采样资源。因此，寻找 新
11、的数据采集和处理方法成为一种必然。 2006 年，由 D.L.Donoho(美国科学院院士)与 E. Cands (Ridgelet, Curvelet 创始人)等人正式提出的压缩感知（Compressed Sensing，CS） 1-6是一种全新 的信息获取和处理理论,该理论充分利用信号的稀疏性或者可压缩性，能够在保 证信息不损失的情况下，用远低于 Nyquist 采样定理要求的速率采样信号的同 时，又可完全重建信号，即将对信号的采样转变为对信息的采样。这极大地降 低了信号的采样频率、 信号处理的时间和计算成本以及数据存储和传输的代价。 如同信号带宽对于 Nyquist 定理，信号的稀疏性是
12、压缩感知的必备条件；如同 Nyquist 采样规则对于 Nyquist-Shannon 采样定理， 压缩感知的关键是非相关性测量 （为 书写方便，称该测量为测量矩阵） ；如同 Fourier 变换对于 Nyquist，非线性优化是压 缩感知重建信号的手段。压缩感知的三个要素是信号的稀疏变换(目前的稀疏变换有 DCT, wavelet, curvelet, overcomplete atom decomposition，等),稀疏信号的非相关测量 （目前的测量方式为线性测量）及稀疏信号的重建算法；因此构建硬件容易实现的测 量矩阵和快速稳定的重建算法是将压缩感知推向实用化的关键，也是压缩感知的主要
13、 研究内容。 1.2 国内外相关领域的研究现状国内外相关领域的研究现状 压缩感知理论自 2006 年一经提出，就受到信息论、信号/图像处理、医疗 成像、光学/雷达成像、模式识别、地质勘探、无线通信等领域的许多学者的高 2 度关注。作为一个新生的理论，虽然对它的研究尚属于起步阶段，但已表现出 了强大的生命力，并已发展了分布压缩感知理论，1-BIT 压缩感知理论， Bayesian 压缩感知理论，无限维压缩感知理论，变形压缩感知理论等，已经成 为数学领域和工程应用领域的一大研究热点。目前，许多国家的知名大学(如麻 省理工学院，斯坦福大学，普林斯顿大学，莱斯大学，杜克大学，爱丁堡大学) 都已经成立了
14、专门的课题组对压缩感知这一新生理论进行研究；许多知名公司 （Intel，Bell 实验室，Google）也开始组织对压缩感知的研究。 作为一个新生的理论，关于压缩感知的相关学术论文还主要侧重于理论上 的证明和完善。目前，压缩感知理论在信号的稀疏变换，观测矩阵的设计和信 号的重构等方面都取得了一定的进展。在信号重构方面，最早提出采用传统的 最小化 2 l 范数作为约束条件，但对该优化问题求得的解通常并不具备稀疏性。 随后相关学者又提出采用最小化 0 l 范数作为约束条件，但对该优化问题求解是 一个 NP-Hard 问题。 此后相关学者又提出各种次优化求解的算法， 如最小化 1 l 范 数的优化求
15、解7，迭代贪婪算法89，组合算法10等，在算法的时间复杂度和 性能上都各有优缺点。 由于压缩感知理论有着广泛的应用前景，随之而来的是相关理论的完善和 实践应用的成果，理论上涉及到图像视频压缩、信号恢复、分布式压缩感知理 论、医学影像系统13、超宽带雷达系统1112和光谱图像处理等方面。 目前国内关于压缩感知的研究仍处于起步阶段，相关研究工作正逐步开展 中35-37。 1.3 主要工作和结构安排主要工作和结构安排 1.3.1 主要研究工作 本文所涉及的是对能稀疏表示的信号同时进行数据采集和压缩的压缩感知 理论框架。相对于传统的信号处理方法，压缩感知理论有着无可比拟的优势， 现在关于它的理论和应用
16、研究都处于完善发展阶段。目前，在压缩感知理论所 涉及的各个领域中，有很多都极具研究价值，本文所研究的主要内容是压缩感 知恢复算法的性能比较及其在图像处理的应用。 本文主要工作是根据图像小波变换系数层的特点和现实应用中稀疏度未知 的情况，提出了基于单层小波变换的自适应压缩感知算法，保留图像低频系数， 只针对高频系数进行测量。重构时，利用稀疏度自适应匹配追踪算法对高频系 数或逐行或逐列或整体进行恢复，再进行小波逆变换重构图像。仿真结果表明， 与单层小波变换的非自适应压缩感知算法相比，解决了稀疏度未知情况下的图 像恢复问题，且重构图像质量也得到很好的保证。在相同的采样率下，PSNR 相差不过 2dB。 3 1.3.2 结构安排 第 2 章介绍了现有压缩感知的理论框架，着重于了信号的稀疏表示、观察 矩阵和信号重构等基本概念。第 3 章介绍了信号重构的几种方法，并进行了对 比和分析。第 4 章是本文的主要创新点，提出了基于单层小波变换的自适应压 缩感知算法，很好
