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1、大连理工大学 硕士学位论文 压电材料平面问题的虚边界元解法 姓名：王辉 申请学位级别：硕士 专业：工程力学 指导教师：姚伟岸 20040301 摘要 文章首先利用压电材料平面问题的G r e e i j 函数基本解和线蛀叠加原理，提 出了2 - D 压电体的虚边界等额配点解法，这种算法由于只需要在假想虚边界上 和实际边界上配点，所以解决了传统边界元方法( B E M ) 实行中遇到的奇异积分 计算( 当源点位于积分单元上时所产生的奇异积分) 和近奇异积分计算( 当源 点靠近边界时产生的近奇异积分) 闽题。同时。该算法还具有t 3 E M 方法所具 有的降低求解维效、计算量小、域内点处的求解变量
2、连续等特点，但没有B E M 方法中边界积分方程复杂的推导过程。 接着，文章根据等额配点算法可能导致的系数阵奇异性问题和解的完备性 问题提出了虚边界最小二乘配点解法和虚边界元积分解法。这些算法同样也具 有等额配点解法的优点，同时又具有较高的计算精度和解的稳定性。 同时，论文利用上述算法计算了一些压电材料平面问题的算例，芳和解折 解傲了比较，计算结果和解析解吻合较好，表明该算法具有较高的计算精度， 是求解压电材料平面问题的一种有效的数直求解方法。 文章最后总结了压龟衬睾葺平面闫题的虚边界元解法，并讨论了该算法所面 临的需要进一步完善和解决的一系列问题，以便该算法能在尽可能多的领域中 应用。 芸键
3、毒j 压毫体；基本艇：叠加原理：解橱延拓：奇异积分虚边界配点浩 虚边界积分法 A b S tr a c t F i r s t l y ，b a s e d o nt h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o n sO r G r e e n Ss o l u t i o n sf o rD l a n e p r o b l e mo fp i e z o e I e c t r i c i t ya n dt h ep r i n c i p l eo fs u p e r p o s i t i o nf o rl i n e a rs y s t e
4、m a v i r t u a l b o u n d a r y e q u i v a l e n t c o l l o c a t i o nm e t h o dW a S p r e s e n t e d i nt h i s p a p e r C o m p a r e dw i t hd i r e c tB E M t h i sa l g o r i t h ma v o i d e dt h ec o m p u t a t i o no fs i n g u l a r i n t e g r a la n dn e a r l ys i n g u l a ri
5、n t e g r a l ，w h i c ha r eo f t e nc a u s e dw h e nt h es o u r c ep o i n t l i e so no rc l o s e st ot h e i n t e g r a le l e m e n t ，r e s p e c t i v e l y A tt h es a m et i m e ，t h i s m e t h o da l s oh a sa d v a n t a g e so fB E M ，s u c ha st h er e d u c e dd i m e n s i o n a
6、 l i t yo ft h e b a s i c p r o c e s s ，t h e d e c r e a s e da m o u n to fc o m p u t a t i o n ，c o n t i n u o u sv a r i a b l e si ” i n t e r i o rp o i n t ，a n dS Oo n S e c o n d l y ，t h i sp a p e rp r e s e n t st h e v i r t u a l b o u n d a r y l e a s ts q u a r e c o l l o c a -
7、 。J m e t h o da n dt h ev i r t u a l b o u n d a r ye l e m e n t i n t e g r a lm e t h o d f o rt h es a k e O ft b e p r o b l e m so ft h es i n g u l a r i t y o ft h ee f f e e t i v em a t r i xa n dt h e s t a b i l i t yo fs o l u t i O n P O S S i b I Y c a u s e di nt h e p r o C e s s
8、o fu s i n gt h eV i r t u a I b o u n d a r y e q u i v a I e n t c o l l o c a t i o nm e t h o d A tt h es a m et i m e S O m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep e r f o r m e dt od e m o n s t r a t et h e p e r f o r m a n c eo ft h e s ea l g o r i t h m s r e s p e c t i v e l y T h er e
9、s u l t sa r ef o n n dt oa g r e ew e j i w i t ht h ee x a c ts o l u t i o nS ot h e 3 m a yb eo n eo fe f f e c l i v ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d st o a n a l y z et h ep l a n ep r o b l e mo fp i e z o e l e c t r i cm e d i a F i n a l l y 。o r k a b o v eiSs u m m a r i z e da n ds
10、 o m ep r o b l e m sa r ed i s c u s s e d w h i c h a r ef a c e dt ob es t u d i e da n ds o l v e di nt h ef u t u r ef u r t h e r ，S Ot h a tt h eu s eo ft h i s m e t h o dc a r lb ee x t e n d e dt om o r es i t u a t i o n s K e y W Or d S ：P ie z o e Ie c tr icm e d iu m ：b a s ics O fu t
11、io n ：Pr in c iP feo 卡 s u P er p c s i t iO D ：a n a fY s ise x t e n t ：s in g u la ri n t e g r a t io n ：v ir t u a Ib o u n d ar Y C O Ifo c a t io nm e t h o d ：V ir t u a Ib o u n d a r Y i n t e g r a Im e t h o d 压电材料平面问题的虚边界无解浩 0 前言 这是一篇关于压电材料数值求解闽题的硕士论文，对于压电器件的数筐分 析提供了一种有别于有限元法和传统边界元法的数值计
12、算工具，算例的数值计 算结果表明该方法可以为压电体的力学和电学分析提供必要的参考。 由于压电材料的控制方程存在者较为复杂的力学和电学的祸合，解析求解 该类问题交得非常困难。目前，在压电体的数值分析方面的主要计算方法有有 限元法和边界元法。前者以有艰区域离教为基础，利用变分方程或虚功原理推 导相应的计算式，把域内的参量均转化到单元节点上：通过计算节点位移和电 势，域内单元或相应点处的位移、电势、应力和电位移可以对应求出。而后者 以边界离散为途径，利用功的互等定理或加权残值定理推导出相应的边界积分 方程，计算边界节点处的未知量；然后利用边界给定的已知量和求出的未知量， 计算域内点处的位移、电势、应
13、力和电位移。 上述两种计算方法各有优缺点，在后面的章节中会进行详细的讨论。针对 这些问题，文章在第3 章和第4 章提出了基于叠加原理和基本解的虚边界配点 解法和虚边界积分解法，推导了相应的计算方程，并进行了实例计算。 需要说明的是，文章提出的虚边界元算法在不涉及域内分布荷载，如体力 等的情况下具有方法简单，易于编程等特点，尤其是对于虚边界配点解法，可 以看作一种无网格算法：但是如果存在域内分布荷载，由于要透行城内积分， 需要划分域内单元，所以这种算法并不能显示出过多的优点，虚边界配点解法 也不能严格的称为无网格算法。 对于这些问题，论文在第5 章也做了详细的讨论。 本论文的目的旨在为压电器件的
14、力学和电学分析提供一种可被工程计算采 用的计算方法。当然，任何一种计算方法都不是十全十美的，需要在实践中不 断的完善。 压电材料平面问题的虚边界元解法 1 绪论 从I8 8 0 年J C u r i e 和P C u r i e 发现压电效应以来，压电材料被广泛地用于 制作各种换能器和传感器，已经在电子、激光、超声、水声、微声、红外、微 机电系统( M E M S ) 、导航及生物等高科技领域获得了重要应用。尤其是近年 来，智能结构。】越来越被广泛使用。它能感知周围环境的变化，并能针对这 种变化做出适当的反映。正是这种自适应特性，使人类对物体的控制能从被动 控制过渡到主动控制。由于压电材料的机
15、电耦合特性非常适合智能结构的需 要，所以它成为传感器、驱动器的首选材料。正压电效应常被用来制造传感器、 加速计等元件，而逆压电效应常用来制造超声马达、双压电弯曲晶片元件等。 但是压电材料由于其控制方程的复杂性，只有一些特殊问题才能解析求解，在 大多数情况下只能求褥近似解或数值解。 1 1 压电材料的基本解研究概况 对压电材料内部作用集中力和集中点电荷的研究即基本解或G r e e n 函数豹 研究是对压电材料进行力学分析的一个重要的基础问题。它们在压电材料的断 裂、夹杂以及边界元计算等方面的研究工作中占有重要地位，除了用来求得一 些经典问题的解析解外，还为各种近似方法的评估提供重要的依据。 对
16、空间和半空间问题，C h e n 4 1 1 3 】利用三重F o u r i e r 变换给出了各向异性材料 的基本解以及相应的一阶和二阶偏导数，它们都是以单位圆上的线积分形式表 示的；D u n n 6 I 通过R a d o n 变换和坐标变换给出了横观各向同性压电材料的显式 基本解；W a n g 和C h e n 7 】以及W a n g 和Z h e n g 8 】研究了集中力作用在横观各向同 性压电材料半空间边界上的解和平衡方程的通解：丁皓江等一J 系统地研究了横 观各向同性压电材料运动方程和平衡方程的通解，同时也给出了半空间边界 。 作用集中力和点电荷时的解；此外，丁皓江等【1D j 还利用体积势理论结合试凑构 造法给出了横观各向同性压电材料三维问题的基本解。 对平面问题，丁皓江等【 利用状态空间方程和F o u r i e r 变换导出了平面问题 各种情况下的基本解；盂庆元和杜善义【1 2 】也导出了二维弹性各向同性压电材料 分别在单位力和单位点电荷作用下的位移场、电势场、
