第二章 一维随机变量及其分布,第一节 随机变量 第二节 离散型随机变量及其分布律 第三节 随机变量的分布函数 第四节 连续型随机变量及其概率密度 第五节 随机变量的函数的分布,,如果对于随机变量X的分布函数F (x), 存在非负函数 f (x), 使对于任意实数x有,则称X为连续型随机变量, 其中函数f (x)称 为X的概率密度函数, 简称概率密度.,§4 连续型随机变量及其概率密度,由定义知道, 概率密度f(x)具有以下性质:,这两条性质是判定一个 函数 f (x)是否为 概率密度的充要条件,例1 设随机变量X具有概率密度,f (x)的曲线形状如图所示,,,x,x,x/6,(2) X的分布函数为,注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即,由此可得,连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关,(一)均匀分布 设连续型随机变量X具有概率密度,则称X在区间(a , b)上服从均匀分布, 记为X~ U (a , b).,,,,,,,,,a,f (x),b,由(4.1)式得X的分布函数为,,,,,,,,O,a,b,1,F (x),x,(二) 指数分布 设连续型随机变量X的概率密度为,其中q 0为常数, 则称X服从参数为q的指数分布.,X的分布函数为,f(x)的图形:,,,,,q=1/3,q=1,,,q=2,,,X服从指数分布, 则任给s, t 0, 有 P{Xs + t | X s}=P{X t} (4.9),性质(4.9)称为无记忆性.,3. 正态分布(或高斯分布),,,,,,O,m,x,f (x),,,,,,,O,m,m1,x,f (x),固定s，改变m,,,,,,,0.266,0.399,0.798,m,x,O,,s =1.5,,s =1.0,,s =0.5,由(4.10)式得X的分布函数为,称 N(0, 1) 为标准正态分布，其密度函数和分布函数常分别用 来表示。
书末P382附有标准正态分布函数数值表，,,此引理的证明放在随机变量函数的分布那 一节m-3s,m-2s,m-s,m+s,m+2s,m+3s,,68.26%,,95.44%,,99.74%,正态分布的3s准则,【例 6】,由j(x)的对称性知z1-a=-za,设X~N(0,1), 若za满足条件 P{Xza}=a, 0a1, (4.18) 则称点za为标准正态分布的上a分位点.,问题的提出,在实际中，有时对随机变量的函数更感兴趣§5 随机变量的函数的分布,测量圆柱体截面直径 d， 关心截面面积,问题：已知随机变量 X 的概率分布， 如何求Y = g(X) (设 g 是连续函数) 的概率分布？,2.4.1 离散型随机变量函数的分布,例1：设随机变量 X 有如下概率分布：,求 Y= (X – 1)2 的概率分布分布律,离散型随机变量的函数的分布,例2,例3：设随机变量X 具有概率密度 fX(x)， 求Y=X2的概率密度连续型随机变量的函数的分布,例4,第二章 习题 2，7，10，12,16,20,24, 29,33,34,。