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1、 单因子方差分析 双因子方差分析 1、非重复试验双因子方差分析 2、重复试验双因子方差分析 第九章第九章 方差分析方差分析 概论概论 在生产及科研工作中，人们常常需要了解 哪些因素对试验结果有显著作用，哪些因素没 有显著作用。 例如：施肥品种、施肥量、种子品种、下 种量、土质、水份等诸因素中哪些对小麦的产 量有显著影响，哪些又没有。 这类问题可通过方差分析的方法予以解决。 9191单因子单因子方差分析方差分析 概念及例子 数学模型 离差分解 H0的检验 ij的区间估计 一、一、概念及例子概念及例子 方差分析是对试验结果的数据作分析的一种常用的统计方差分析是对试验结果的数据作分析的一种常用的统计
2、 方法。我们在显著性假设检验中已讨论过两总体均值是否相方法。我们在显著性假设检验中已讨论过两总体均值是否相 等的检验，这种问题可称为单因子二水平的试验。等的检验，这种问题可称为单因子二水平的试验。 在本小节中我们要讨论单因子多水平的试验，我们将发在本小节中我们要讨论单因子多水平的试验，我们将发 现它实际上是多个总体的均值是否相等的显著性检验。现它实际上是多个总体的均值是否相等的显著性检验。 在正态总体和方差相等的基本假定下，这类假设检验问在正态总体和方差相等的基本假定下，这类假设检验问 题称为题称为单因子方差分析单因子方差分析或或一元方差分析。一元方差分析。 例例9.19.1 为了比较四种不同
3、的肥料对小麦产量的影响， 为了比较四种不同的肥料对小麦产量的影响， 取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土 地，分成地，分成16块。肥料品种记为块。肥料品种记为A1，A2，A3，A4， 每种肥料均按比例施在四块土地上，得亩产量如每种肥料均按比例施在四块土地上，得亩产量如 下：下： 亩产 品 种 田块 A1 A2 A3 A4 1 981 607 791 901 2 964 693 642 703 3 917 506 810 792 4 669 358 705 883 问施肥品种对小麦亩产有无显著性影响？问施肥品种对小麦亩产有无显著性影响？ 例例9.2
4、9.2 某灯泡厂用四种不同的配料方案制成的灯丝某灯泡厂用四种不同的配料方案制成的灯丝 生产了四批灯泡，在每一批中任取若干个作寿命生产了四批灯泡，在每一批中任取若干个作寿命 试验，得如下数据（单位：小时）试验，得如下数据（单位：小时） 寿命 灯 泡 灯丝 1 2 3 4 5 6 7 8 甲(A1) 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 乙(A2) 1580 1640 1640 1700 1750 丙(A3) 1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820 丁(A4) 1510 1520 1530 1570 1600 1680 问灯丝
5、的问灯丝的不同的配料方案对灯泡寿命不同的配料方案对灯泡寿命 有无显著影响？有无显著影响？ 例9.1中的肥料品种和例9.2中的不同 配料的灯丝称为因子或因素，记为A， 这里都只有一个因子。各种肥料或不同 配料方案称为水平。 一般地，因子A 有r个水平A1，A2,Ar . 二、数学模型二、数学模型 设有r个正态总体Xi，i=1,r, Xi N(i, 2)， 作假设 H0 : 1=2= =r 独立地从各总体中取出一 个样本，列成下表： 总体总体 样样 本本 样本均值样本均值 r rn2r1rr 1 n112111 XX,X,XX XX,X,XX r 1 用以上r个样本检验上述假设H0 是否成立。（水
6、平为） 在应用上，上述问题等价于：因子因子A有有r 个水平个水平A1，A2,Ar ，设在每一种水平下试，设在每一种水平下试 验结果都服从正态分布，现在各种水平作若验结果都服从正态分布，现在各种水平作若 干次试验获得一些观测值，问因素干次试验获得一些观测值，问因素A的各种的各种 水平对试验结果是否有显著影响？水平对试验结果是否有显著影响？ 显然，检验可用t 检验法检验法：所有相邻两 个总体的均值是否相等。共做r1次检验， 通常采用离差分解法离差分解法去解决这个问题。 太繁琐太繁琐！ 三、三、离差分解离差分解 将每个样本看成一个组，记组内平均为 i i n 1j ij n 1j ij i iXnX
7、, r , 2 , 1i,X n 1 X ii 总平均 r i i r i n j ij nnX n X i 111 1 , 组内离差平方和 r 1i 2 n j i ije )XX(S i 组间离差平方和 r 1i 2 i iA )XX(nS 四、四、H0的检验的检验 离差平方和离差平方和 ) 1 . 9( )()( 11 2 11 2 Ae r i n j ii ij r i n j ijT SS XXXXXXS ii 令 r , 2 , 1i ,n, 2 , 1j,X iijiij 其中 )., 0(N 2 iid ij 令 ii r 1i ii ,n n 1 则 )2 . 9(, 0
8、111 r i r i n j iii i n ) 3 . 9 (, 2 , 1, 2 , 1,rinjX iijiij 令 r 1i n 1j ij n 1j ij i i ii n 1 , r , 2 , 1i, n 1 则 r 1i n 1j 2 i ije i )(S r 1i i ii r 1i r 1i 2 i i 2 iiA )(n2)(nnS 22 1 11 2 )() 1( )()( rnn ESE r i i r i n j i ije i 2 1 2 1 11 2 2 2 ) 1( )(2 )( rn En nnEnSE r i ii r i i ii r i r i i
9、 iiiA 故 )() 1 ( rn S E r S E eA 但在H0成立时， 从而 )5 . 9( 1 1 ) 1 ( 1 22 r i ii A n rr S E r , 2 , 1i, 0 i 可见，一般地说，有 )() 1 ( rn S E r S E eA )4 . 9()( 2 rn S E e )6 . 9()()( )()( 2 1 2 11 2 2 11 2 11 2 11 2 nn n r i i i r i n j i ij r i n j ij r i n j ij r i n j ij i iii Ae r i i i r i n j i ij r i n j ij
10、T SSn S i i 1 2 11 2 11 2 )()( )( 且 . 2 11 2 nSS Ae r i n j ij i 即 定理定理9.1（柯赫伦定理（柯赫伦定理见见P166定理定理6.2.3 设设 ,)n(XQ),1, 0(NX,X 2 n 1i 2 i iid n1 变量为 若Q=Q1+Qk，其中Qi为某些正态变量的平 方和，这些正态变量分别是X1，Xn的线 性组合，其自由度为fi ，则诸相互独立， 且为 .)( 1 2 nff k i ii 变量 方差分析表方差分析表 来来 源源 离差平方和离差平方和 自由度自由度 均方离差均方离差 F值值 组间组间(因子因子A) 组内组内(误
11、差误差e) 总总 和和 e AA A r i iiA Q Q F r S QrxnxnS 1 1 1 22 rn S QrnSSS e eATe 1nxnxS r 1i n 1j 22 ijT i 五. ik的区间估计 由于 故，给定信度1 ，可得ik的置信区间 )( /1/1 )( rnt Qnn XX T eki ki ki ) 11 )( 2/e ki kiQ nn rntXX rn S Q e e 其中 例例9.39.3 在例9.2中给定=5%，问灯丝的 不同的配料方案对灯泡寿命有无显著 影响？ 解：已知解：已知r=4, n1=7, n2=5, n3=8, n4=6, n=26. 计算
12、的下列计算的下列 方差分析表方差分析表 来来 源源 离差平方和离差平方和 自由度自由度 均方离差均方离差 F值值 因子因子A 44,374.6 3 14,791.5 2.17 误差误差e 149,970.8 22 6,816.8 总总 和和 194,345.4 25 查表知查表知 FFrnrF17. 205. 3)22, 3(), 1( 05. 0 故，接受H0. 即认为灯丝的灯丝的不同的配料方不同的配料方 案对灯泡寿命无显著影响。案对灯泡寿命无显著影响。 92 双因子(二元)方差分析 一、非重复试验情形 提出问题 一般模型 检验法的导出 二、重复试验情形 提出问题 检验法的导出 1、提出问题
13、 一、非重复试验双因子方差分析 氧化锌氧化锌B 促进剂促进剂A B1 B2 B3 B4 A1 32 35 35.5 38.5 A2 35.5 36.5 38 39.5 A3 36 37.5 39.5 43 例例9.4 在某种橡胶的配方中，考虑了三种不 同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各种 配方试验一次，测得300%定强如下表所示： 此例中有此例中有A、B二个因子，因子二个因子，因子A 有三个水平有三个水平A1，A2，A3；因子；因子B有四有四 个水平个水平B1，B2，B3，B4 ，在各种组合，在各种组合 水平水平Ai Bj上作一次试验获得一个观测上作一次试验获得一个观测 值。值。问问因子因子A、B分别对试验结果分别对试验结果有无有无 显著性影响显著性影响 问不同的促进剂，不同份量的氧问不同的促进剂，不同份量的氧 化锌分别对定强有无显著性影响？化锌分别对定强有无显著性影响？ 2、一般模型 设有设有A、B二个因子，二个因子，A有有r个水平个水平A1，, Ar；因；因 子子B有有s个水平个水平B1， ，Bs ，在，在
