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1、应用高等数学 等价替换公式1应用高等数学等价替换公式1、无穷小量：设 0）x（glim）x（flim00x （1）若 ，f（x）是 g（x）的 高阶 无穷小）（ ）（0x（2）若 ，f（x）是 g（x）的 低阶 无穷小）（g）（lim0x（3）若 ，f（x）是 g（x）的 同阶 无穷小c）（ ）（0x（4）若 ，f（x）是 g（x）的 等价 无穷小1）（g）（lim0x（5）若 ，f（x）是 g（x）的 k 阶 无穷小）（ ）（kx02、等价替换：若 xx 0，f（x） f 1（x） ，g（x） g1（x）则 ）（g）（lim0x ）（ ）（lim1x06、常用等价形式：当 f（x）0 时（1
2、）sinf（x） f（x）（2）arc sinf（x） f（x）（3）tanf（x） f（x）（4）arc tanf（x） f（x）（5）In（1+f（x） ） f（x）（6）e f（x） -1 f（x）（7）1-cosf（x） 2）（应用高等数学 等价替换公式2（8）（1+f（x） ） -1 f（x）二、函数的连续：1、间断点：（1）第一类间断点：f -（x 0） 、f +（x 0）均 存在的 间断点跳跃间断点： f -（x 0）f +（x 0）可去间断点： f -（x 0）=f +（x 0）（2）第二类间断点：f -（x 0） 、f +（x 0）至少有一个 不存在的 间断点无穷间断点： f
3、 -（x 0） 、f +（x 0）中至少有一个为 振荡间断点： f -（x 0） 、f +（x 0）中至少有一个 振荡不存在三、导数：1、定义： = ）（ ）x（f-）（lim00x 2、导数的常见形式：（1） 0x0-）（）（f）（f0（2） h）x（）（lim ）（ 0h（3） ）（f-）x（）x（f000h 3、切线方程：若曲线 y=f（x）在点 P（x 0，f（x 0） ） ，则 y-y 0= （x-x 0）（f0注：（1）如果 =，则 x=x 0）x（ 0（2）如果 =0，则 y=y 0）（f4、法线方程：若直线过点 P（x 0，f（x 0） ） ，则 y-y 0= （x-x 0）（
4、 105、基本公式：（1） 0）C（2） 1-aax）（3） In）（ x应用高等数学 等价替换公式3（4） xxe ）（ （5） Ina1）log（ a（6） x ）In（ （7） cos）si（8） in-）（ （9） e ）tan（ 2（10） xcs）cox（ （11） tan）s(（12） o- ）（ （13） 2x1）inxarc（14） 2-）os （ （15） 2x1）tanrc（ （16） 2- ）o（ 6、四则运算：都有导数和（1） ）(（2） c）（3） ）（4） )0( )(2推论：（1） c）（应用高等数学 等价替换公式4（2） ww ）（3） sss ）（7、反函数
5、求导法则：设 y=f（x）与 x= （y） （ （y）0）则 或 = ）（ 1）（f xy18、n 次导的常见公式：（1） = ）n（）six（ ）2n（ （2） ）x（cos）co（ ）n（ （3） = nI1n1-n）（ !）（）（ 9、参数方程求导：设函数 都可导，其中 x=）t（y） ，t（x） ， 且bta（）（y）（x 0，则函数的导数）t（ ）（ ）（ dty10、复合函数求导：若 y=f（u） ，u= （x） ，且 f（u）及 （x）都可导，则复合函数 y=f （x）的导数 ）（）（f dy11、隐函数求导：（1）方程 F（x，y）=0 两边求导，解出 y或dx（2）公式法：由
6、 F（x，y）=0，则 yF （3）利用微分形式的不变性，方程两边求微分，然后解出 dxy注：y 是 x 的函数应用高等数学 等价替换公式512、对数求导：将函数关系式两边取自然对数（成为隐函数形式） ，化简，然后两边两边求导，最后两边乘以 y（x）注：适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数（y=u（x） v（x） ）13、高阶导数：（1）二阶导数： x ）（f-）（flim ）（f0x （2）三阶导数： ）（）（）（ 0x （4）n 阶导数： x ）（f-）（flim ）（f）1n（）1-n（0x）1-n（ 14、中值定理：（1）拉格朗日定理：若函数 f（x）在闭区间a，b上连续，在开区
7、间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点 ，使得a-b）（）（f ）（ 推论 1：如果函数 f（x）在区间（a，b）内任意一点的导数 都等于零，）x（f你们函数 f（x）在（a，b）内是一个常数推论 2：如果函数 f（x）与 g（x）在区间（a，b）内每一点的导数 与）（都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数，即：）（gf（x）= g（x）+C，x （a，b）（2）罗尔定理：若函数 f（x）在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且 f（a）=f（b） ，则在（a，b）内至少存在一点 ，使得 0）（f（3）柯西定理：若函数 f（x）在闭区间a，b上连续，在开区间
8、（a，b）内可导，且 ，则在（a，b）内至少存在一点 ，使得 = 0）x（g ）a（g-）b（ ）（）（）（ ）（f15、洛必达法则：（1） 型：0设函数 f（x） 、g（x）满足： 0）（lim）（lim00在点 x0的某去心邻域内 都存在 ，且 0）x（g） 与（f ）x（g应用高等数学 等价替换公式6 存在或为无穷）x（g）（flim0x有： = ）（ ）（0x）x（g）（flim0x（2） 型：设函数 f（x） 、g（x）满足： ）（lim）（lim00在点 x0=的某去心邻域内 都存在 ，且 0）x（g） 与（f ）x（g 存在或为无穷）（g）（flim0x有： = ）（ ）（0x）
9、x（g）（flim0x（3）其他未定型：0型：f（x）g（x）转化成 ，一般将 In、arc）x（f1）（g或 ）x（g1）（f留在分子上-型：通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为 型0或 型 型：f（x） g（x） = eg（x）Inf（x） = 0、1 ）x（g1）（Infe16、函数单调性判定：设函数 y=f（x）在开区间（a，b）内可导（1）如果函数 y=f（x）在（a，b）内， ，则函数 y=f（x）在0）（f（a，b）内单调递 增 ；（2）如果函数 y=f（x）在（a，b）内， ，则函数 y=f（x）在）x（ （a，b）内单调递 减 ；17、函数的极值：（1）如果
10、函数 y=f（x）在点 x0及其左右近旁有定义，且对于 x0近旁的任何一点 x（xx 0）的函数值 f（x）均有：应用高等数学 等价替换公式7f（x）f（x 0）,则 f（x 0）称为函数 y=f（x）的 极小值 ，点 x0称为函数y=f（x）的 极小值点（2）驻点： 0 的点）（3）极值第一充分条件：设点 x0是 f（x）可能的极值点（ 或 不存在）0）x（f ）x（f0当 ； ）（） 时 ，-（ 0,则 x0为极大值点）（） 时 ，（ 0当 ；）（f） 时 ，x，（x0,则 x0为极小值点 ）（） 时 ，（ 0当 ， 同号 ，则 x0不是极值点），-（ 0），（ 0）（f（4）极值的第二充
11、分条件：设 y=f（x）在点 x0处有一、二阶导数，且 = 0）x（如果 0，则函数 y=f（x）在点 x0处取得最小值 f（x 0）（f如果 0，收益 R（p）单调 递增 ，即价格随总收益的增加而增加）Q（R当| 1 时，为高弹性，此时需求变动幅度 大于 价格变动幅度。且0 且 a1）Caxx（6） ed（7） Ccosx- sinx（8） co（9） tande2（10） Ccox- xs（11） se（12） tdc（13） Ccosx ar-Csinx arcx-12（14） ttd2（15） CcosxIn- tax（16） icod（17） etase应用高等数学 等价替换公式11
12、（18） Ccotx-sIncsxd（19） （a0）air -a12（20） （a0）Cxtncdx2（21） （a0）-aI1 -a12（22） （a0） Cxndx223、性质：（1） ）（f ）（f（2） dx）（dx）（3） C）（）（ （4） ）（f ）（5） （k0）dx）（kdx）（k（6） dx）（g）（f）（g）（4、换元积分法：（1）第一类换元积分法（凑微分法）：= F （x）+C ）（d）x（ dx）（）（f（2）常见形式： （a0）ba（）ba（f1）ba（ （a0）d(x）x（n dx）x（f nn1-nn （a0）axaxde）（fe）（ 1）（- d1）（f2应
13、用高等数学 等价替换公式12 xd）（f2dx1）（f In）（ ）In（ 2 dcosx）（f-sixd）co（f in）s（ ）n（ ta）（e）ta（ 2 dcox）（f-xdcs）o（f sinx ar）sin ar（1）in ar（ 2 tdc）txc（fdx）tc（f2（3）第二类换元积分法： C）x（F CF() ）（）（） ）t（f dx）（ 1）（ （4）无理代换（根式代换）：当被积函数中含 时，令 x= tn （t0）n当被积函数中含 和 时，令 x=tp（t0），p 是 m 和 n 的 最小公倍数xm当被积函数中含 （a、b 为常数且 a0）时，令 ax+b= tn （t
14、0）n（5）三角代换：若被不定积分 f（x）含 时，令 x= |a|sint2x-若被不定积分 f（x）含 时，令 x= |a|secta若被不定积分 f（x）含 时，令 x= |a|tant2注：并且需要回代应用高等数学 等价替换公式13 （6）分部积分法： 或vdxu-dxvu vdu-v六、基本积分表：1、含有 a+bx 的积分：（1） ）1-u（ C）1u（b）a（ dx）a（ u（2） ）x（Inb（3） Cba1- dx）a（x1（4） xIna）b（ 22（5） C）b（-b1 dxa2（6） C）bxa（In）xa（2x)(ab 232（7） Cb）（Inb1 dx)(a22（8） xa）（a-x222（9） CbIn1）b（a dxb)x(a1222、含有 的积分：应用高等数学 等价替换公式14（1） C）bxa（32dxba3（2） 15）（）-（ 23（3）
