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1、应用高等数学 等价替换公式1应用高等数学等价替换公式1、无穷小量:设 0)x(glim)x(flim00x (1)若 ,f(x)是 g(x)的 高阶 无穷小)( )(0x(2)若 ,f(x)是 g(x)的 低阶 无穷小)(g)(lim0x(3)若 ,f(x)是 g(x)的 同阶 无穷小c)( )(0x(4)若 ,f(x)是 g(x)的 等价 无穷小1)(g)(lim0x(5)若 ,f(x)是 g(x)的 k 阶 无穷小)( )(kx02、等价替换:若 xx 0,f(x) f 1(x) ,g(x) g1(x)则 )(g)(lim0x )( )(lim1x06、常用等价形式:当 f(x)0 时(1
2、)sinf(x) f(x)(2)arc sinf(x) f(x)(3)tanf(x) f(x)(4)arc tanf(x) f(x)(5)In(1+f(x) ) f(x)(6)e f(x) -1 f(x)(7)1-cosf(x) 2)(应用高等数学 等价替换公式2(8)(1+f(x) ) -1 f(x)二、函数的连续:1、间断点:(1)第一类间断点:f -(x 0) 、f +(x 0)均 存在的 间断点跳跃间断点: f -(x 0)f +(x 0)可去间断点: f -(x 0)=f +(x 0)(2)第二类间断点:f -(x 0) 、f +(x 0)至少有一个 不存在的 间断点无穷间断点: f
3、 -(x 0) 、f +(x 0)中至少有一个为 振荡间断点: f -(x 0) 、f +(x 0)中至少有一个 振荡不存在三、导数:1、定义: = )( )x(f-)(lim00x 2、导数的常见形式:(1) 0x0-)()(f)(f0(2) h)x()(lim )( 0h(3) )(f-)x()x(f000h 3、切线方程:若曲线 y=f(x)在点 P(x 0,f(x 0) ) ,则 y-y 0= (x-x 0)(f0注:(1)如果 =,则 x=x 0)x( 0(2)如果 =0,则 y=y 0)(f4、法线方程:若直线过点 P(x 0,f(x 0) ) ,则 y-y 0= (x-x 0)(
4、 105、基本公式:(1) 0)C(2) 1-aax)(3) In)( x应用高等数学 等价替换公式3(4) xxe )( (5) Ina1)log( a(6) x )In( (7) cos)si(8) in-)( (9) e )tan( 2(10) xcs)cox( (11) tan)s((12) o- )( (13) 2x1)inxarc(14) 2-)os ( (15) 2x1)tanrc( (16) 2- )o( 6、四则运算:都有导数和(1) )((2) c)(3) )(4) )0( )(2推论:(1) c)(应用高等数学 等价替换公式4(2) ww )(3) sss )(7、反函数
5、求导法则:设 y=f(x)与 x= (y) ( (y)0)则 或 = )( 1)(f xy18、n 次导的常见公式:(1) = )n()six( )2n( (2) )x(cos)co( )n( (3) = nI1n1-n)( !)()( 9、参数方程求导:设函数 都可导,其中 x=)t(y) ,t(x) , 且bta()(y)(x 0,则函数的导数)t( )( )( dty10、复合函数求导:若 y=f(u) ,u= (x) ,且 f(u)及 (x)都可导,则复合函数 y=f (x)的导数 )()(f dy11、隐函数求导:(1)方程 F(x,y)=0 两边求导,解出 y或dx(2)公式法:由
6、 F(x,y)=0,则 yF (3)利用微分形式的不变性,方程两边求微分,然后解出 dxy注:y 是 x 的函数应用高等数学 等价替换公式512、对数求导:将函数关系式两边取自然对数(成为隐函数形式) ,化简,然后两边两边求导,最后两边乘以 y(x)注:适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数(y=u(x) v(x) )13、高阶导数:(1)二阶导数: x )(f-)(flim )(f0x (2)三阶导数: )()()( 0x (4)n 阶导数: x )(f-)(flim )(f)1n()1-n(0x)1-n( 14、中值定理:(1)拉格朗日定理:若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,在开区
7、间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点 ,使得a-b)()(f )( 推论 1:如果函数 f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数 都等于零,)x(f你们函数 f(x)在(a,b)内是一个常数推论 2:如果函数 f(x)与 g(x)在区间(a,b)内每一点的导数 与)(都相等,则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数,即:)(gf(x)= g(x)+C,x (a,b)(2)罗尔定理:若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且 f(a)=f(b) ,则在(a,b)内至少存在一点 ,使得 0)(f(3)柯西定理:若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间
8、(a,b)内可导,且 ,则在(a,b)内至少存在一点 ,使得 = 0)x(g )a(g-)b( )()()( )(f15、洛必达法则:(1) 型:0设函数 f(x) 、g(x)满足: 0)(lim)(lim00在点 x0的某去心邻域内 都存在 ,且 0)x(g) 与(f )x(g应用高等数学 等价替换公式6 存在或为无穷)x(g)(flim0x有: = )( )(0x)x(g)(flim0x(2) 型:设函数 f(x) 、g(x)满足: )(lim)(lim00在点 x0=的某去心邻域内 都存在 ,且 0)x(g) 与(f )x(g 存在或为无穷)(g)(flim0x有: = )( )(0x)
9、x(g)(flim0x(3)其他未定型:0型:f(x)g(x)转化成 ,一般将 In、arc)x(f1)(g或 )x(g1)(f留在分子上-型:通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为 型0或 型 型:f(x) g(x) = eg(x)Inf(x) = 0、1 )x(g1)(Infe16、函数单调性判定:设函数 y=f(x)在开区间(a,b)内可导(1)如果函数 y=f(x)在(a,b)内, ,则函数 y=f(x)在0)(f(a,b)内单调递 增 ;(2)如果函数 y=f(x)在(a,b)内, ,则函数 y=f(x)在)x( (a,b)内单调递 减 ;17、函数的极值:(1)如果
10、函数 y=f(x)在点 x0及其左右近旁有定义,且对于 x0近旁的任何一点 x(xx 0)的函数值 f(x)均有:应用高等数学 等价替换公式7f(x)f(x 0),则 f(x 0)称为函数 y=f(x)的 极小值 ,点 x0称为函数y=f(x)的 极小值点(2)驻点: 0 的点)(3)极值第一充分条件:设点 x0是 f(x)可能的极值点( 或 不存在)0)x(f )x(f0当 ; )() 时 ,-( 0,则 x0为极大值点)() 时 ,( 0当 ;)(f) 时 ,x,(x0,则 x0为极小值点 )() 时 ,( 0当 , 同号 ,则 x0不是极值点),-( 0),( 0)(f(4)极值的第二充
11、分条件:设 y=f(x)在点 x0处有一、二阶导数,且 = 0)x(如果 0,则函数 y=f(x)在点 x0处取得最小值 f(x 0)(f如果 0,收益 R(p)单调 递增 ,即价格随总收益的增加而增加)Q(R当| 1 时,为高弹性,此时需求变动幅度 大于 价格变动幅度。且0 且 a1)Caxx(6) ed(7) Ccosx- sinx(8) co(9) tande2(10) Ccox- xs(11) se(12) tdc(13) Ccosx ar-Csinx arcx-12(14) ttd2(15) CcosxIn- tax(16) icod(17) etase应用高等数学 等价替换公式11
12、(18) Ccotx-sIncsxd(19) (a0)air -a12(20) (a0)Cxtncdx2(21) (a0)-aI1 -a12(22) (a0) Cxndx223、性质:(1) )(f )(f(2) dx)(dx)(3) C)()( (4) )(f )(5) (k0)dx)(kdx)(k(6) dx)(g)(f)(g)(4、换元积分法:(1)第一类换元积分法(凑微分法):= F (x)+C )(d)x( dx)()(f(2)常见形式: (a0)ba()ba(f1)ba( (a0)d(x)x(n dx)x(f nn1-nn (a0)axaxde)(fe)( 1)(- d1)(f2应
13、用高等数学 等价替换公式12 xd)(f2dx1)(f In)( )In( 2 dcosx)(f-sixd)co(f in)s( )n( ta)(e)ta( 2 dcox)(f-xdcs)o(f sinx ar)sin ar(1)in ar( 2 tdc)txc(fdx)tc(f2(3)第二类换元积分法: C)x(F CF() )()() )t(f dx)( 1)( (4)无理代换(根式代换):当被积函数中含 时,令 x= tn (t0)n当被积函数中含 和 时,令 x=tp(t0),p 是 m 和 n 的 最小公倍数xm当被积函数中含 (a、b 为常数且 a0)时,令 ax+b= tn (t
14、0)n(5)三角代换:若被不定积分 f(x)含 时,令 x= |a|sint2x-若被不定积分 f(x)含 时,令 x= |a|secta若被不定积分 f(x)含 时,令 x= |a|tant2注:并且需要回代应用高等数学 等价替换公式13 (6)分部积分法: 或vdxu-dxvu vdu-v六、基本积分表:1、含有 a+bx 的积分:(1) )1-u( C)1u(b)a( dx)a( u(2) )x(Inb(3) Cba1- dx)a(x1(4) xIna)b( 22(5) C)b(-b1 dxa2(6) C)bxa(In)xa(2x)(ab 232(7) Cb)(Inb1 dx)(a22(8) xa)(a-x222(9) CbIn1)b(a dxb)x(a1222、含有 的积分:应用高等数学 等价替换公式14(1) C)bxa(32dxba3(2) 15)()-( 23(3)