《三角函数与三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数与三角形（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三角函数与三角形(一) 知识点与重难点知识点了解理解掌握三角函数的有关概念B同角三角函数的基本关系式B正弦、余弦的诱导公式B正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 B函数y=Asin(x+)的图象与性质A两角和(差)的正弦、余弦及正切C二倍角的正弦、余弦及正切B积化和差、 和差化积、半角公式A正弦定理、余弦定理及其应用B(二) 基本公式与性质1.：, ： , , 2. ： , ： , , 3. ： , ： , ,4. ： , ： ,： , , 5. , 6. , 7. =， =8. ,，910.三角函数的奇偶性和单调性具体如下表：函数奇偶性单调区间奇在上增在减偶在上增在减奇在上增11三角函数
2、的奇偶性的判别主要依据定义：首先判定函数的定义域是否关于原点对称，当函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义判别；12函数的单调区间的确定，基本思路是把看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；13比较三角函数值的大小，利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值，再利用单调性比较大小14.正弦定理：（R为外接圆的半径）.15.余弦定理：;.16.面积定理：（1）（分别表示a、b、c边上的高）.（2）. (三) 解题方法三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向
3、下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值
4、范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集(四) 典型例题与巩固练习例1（扬州市2011届高三数学第二轮调研试卷）已知函数求的最小正周期及对称中心；若，求的最大值和最小值.注解：本题考查了半角公式、二倍角公式、和差角公式的应用以及三角函数图象与性质解： 的最小正周期为， -6分令，则，的对称中心为； -8分 当时，的最小值为；当时，的最大值为。 -14分巩固练习：1. （2010湖南文数）（本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期。(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。2. （2010江西理数）（本小题满分12分）已知函数。(1) 当m=0时，求在区
5、间上的取值范围；(2) 当时，求m的值。3. （2010山东文数）（本小题满分12分） 已知函数（）的最小正周期为，（）求的值；（）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值.4. （2010安徽）已知函数的周期为. （1）当时，求的取值范围； （2）求函数的单调递减区间.例2（2011江苏）在ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若 求A的值；（2） 若，求的值.注解：本题考查和差角公式、角的范围限制、特殊值所对应的角以及余弦定理巩固练习：1. （2010年高考浙江卷）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，已知.（）求的值；（）当，求及的
6、长.2. （2010年高考辽宁卷）（本小题满分12分）在ABC中，分别为内角A, B, C的对边，且（）求A的大小；（）求的最大值.3.（2010年全国）已知ABC中，角A、B、C所对的边a、b、c满足a2 + c2 b2 = ac 求sin2+ cos2B的值； 若b = 2，求ABC面积S的最大值4. （2010年福建）（本小题满分12分） ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且满足 （1）求角C； （2）若ABC的周长为2，求ABC面积的最大值。例3（2009年江苏）（本小题满分14分）设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：注解：本题考查到了向量的运
7、算法则、向量垂直以及平行特殊性质、模的运算、和差角公式以及三角函数中最大值与最小值的处理，这是一题典型的向量与三角函数的结合题。巩固练习：1. (2009年广东卷文)（本小题满分12分）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值2. （2011宿迁2模）（本题满分14分）在中，角的对边分别为，且满足。（1）求角的大小；（2）设，试求的最小值。3.（2011泰州2模） 已知向量，（1）求满足的实数的集合；（2）设函数，求在时的值域例4（2010陕西文数）（本小题满分12分）在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.注解：此题考查正弦
8、定理和余弦定理在三角形中的一些应用。巩固练习：1. (2010年高考全国2卷理数17）（本小题满分10分）中，为边上的一点，求2.（2009天津卷）（本小题满分12分）在中，（）求AB的值。（）求的值。3. （江苏省盐城市四星级高中2011）在ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.4. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2， A（1） 求四边形ABCD的面积; B D（2） 求三角形ABC的外接圆半径R; P C （3） 若，求PA+PC的取值范围。例5（2010天津文）（17）（本小题满分12分）在ABC中，。（）证明B=C：（）若=-，求sin的值。注解：
9、本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力. （）证明：在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0. 所以B=C. （）解：由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又02B,于是sin2B=. 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=. 所以巩固练习：1. （2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值2. （2009江西卷文）（本
10、小题满分12分）在中，所对的边分别为，（1）求；（2）若，求,，3.（2009四川卷文）（本小题满分12分）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。例6（2010年高考江苏卷试题17）（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔的高度(单位：），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度，仰角,，.(1) 该小组已经测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ 解析 本题主要考查解三角形的知识、
11、两角差的正切及不等式的应用。（1），同理：，. ADAB=DB，故得，解得：.因此，算出的电视塔的高度H是.（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大.因为，则，所以当时，最大.故所求的是.巩固练习：1. （2009辽宁卷）（本小题满分12分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 2.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分
12、）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。3. （2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分） 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求DEF的余弦值。 例7（2010福建理数）（本小题满分13分）。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东
13、方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。巩固练习：1. （2010年高考陕西卷理科17）（本小题满分12分） 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点. 现位于A点北偏东45
