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1、胡寿松自动控制原理习题解答第四章 4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1 )( + = s K sG 试用解析法绘出 K从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （） ， （） ， （） 解： 有一个极点： （1） ，没有零点。根轨迹如图中红线所示。 （）点在根轨迹上，而（） ， （）点不在根轨迹上。 4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 ) 12( ) 13( )( + + = ss sK sG 试用解析法绘出开环增益 K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。 解： 系统开环传递函数为 )2/1( ) 3/1( )2/1( )3/1(2/3 )( + + = + +
2、= ss sK ss sK s g G 有两个极点： （0） ， （1/2） ，有一个零点（-1/3，j0） 。 根轨迹如图中红线所示。 4-3 已知开环零、极点分布如图 4-28 所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 1 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 图 4-28 开环零、极点分布图 4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分 离点坐标 d)： (1) ) 15 . 0)(12 . 0( )( + = sss K sG 解： 系统开环传递函数为 )2)(5()2)(5( 10 )( + = + = sss K sss K s g G 有三个极点：
3、 （0） ， （2） ， （5）没有零点。 分离点坐标计算如下： 0 5 1 2 11 = + + + + ddd 3解方程的01014 2 =+dd7863. 3 1 =d，d 88. 0 2 = 取分离点为88. 0=d 根轨迹如图中红线所示。 2 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 （2） ) 12( ) 1( )( + + = ss sK sG 解： 系统开环传递函数为 )5 . 0( ) 1( )5 . 0( ) 1(2/ )( + + = + + = ss sK ss sK s g G 有两个极点： （0） ， （0.5） ，有一个零点（1） 。 分离点坐标计算如下： 1 1 5 .
4、 0 11 + = + + ddd 解方程的05 . 02 2 =+ dd7 . 1 1 =d，d 29. 0 2 = 取分离点为7 . 1 1 =d，29. 0 2 =d 根轨迹如图中红线所示。 (3) )3)(2( )5( )( * + + = sss sK sG 解： 系统开环传递函数为 )3)(2( )5( )( * + + = sss sK sG 有三个极点： （0） ， （2） ， （2） ，有一个零点（5） 。 分离点坐标计算如下： 5 1 3 1 2 11 + = + + + + dddd 解 方 程 的，0152510 23 =+ddd5171. 6 1 =d 3 胡寿松自动
5、控制原理习题解答第四章 5964. 2 2 =d d ， 8865. 0 3 =d 8865. 0 pi 取分离点为 = 根轨迹如图中红线所示。 4-5 已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略画出相应的闭环根轨迹图(要求算出 起始角)： （） )21)(21( )2( )( jsjs sK sG + + = 解： 系统开环传递函数为 )21)(21( )2( )21)(21( )2( )( jsjs sK jsjs sK s g + G + + + = 有两个极点：（-12） ，= 1 p= 2 p（1-2） ，有一个零点（2，） 。 起始角： L, 2, 1, 0) 12( )( 11
6、 = += = kk n ij j pp m j pzp iiiji 0000 1359045180 12111 =+=+= pppzp 0000 2259045180 21212 =+=+= pppzp 根轨迹如图中红线所示。 4 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 （） )1010)(1010( )20( )( jsjss sK sG + + = 。 解： 系统开环传递函数为 )1010)(1010( )20( )( jsjss sK s + + = G 有三个极点：p（0， j0） ，p（-1010） ，= 1 = 2 = 3 p（10-10） ， 有一个零点（ 20，） 。 = 1 z
7、起始角： L, 2, 1, 0) 12( )( 11 = += = kk n ij j pp m j pzp iiiji 0 180 1 = p 000000 09013545180180 2321212 =+=+= pppppzp 000000 09013545180180 3231313 =+=+= pppppzp 根轨迹如图中红线所示。 j10 Re Im -20 -10 0 4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求： (1) 确定 )10)(1( )( + = sss K sG 产生纯虚根的开环增益值。 解：系统特征方程为 01011 *23 =+Ksss 令js =代入特征
8、方程中得： 实部方程为： 011 2* =K 虚部方程为：10 0 3 = 5 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 解上述方程得： 开环增益按一般定义： 10 2 =110 * =K1110/ * = KK (2) 确定 )20)(10( )( )( 2 + + = sss zsK sG 产生纯虚根为1 的值和 K值。 解：系统特征方程为 020030 *234 =+zKsKsss 令代入特征方程中得： 1 js = 实部方程为： 02001 * =+zK 虚部方程为： 030 * =K 解上述方程得： 30 * =K30/199=z （3） 概略绘出确定 )23)(23)(5 . 3)(1(
9、)( jsjssss K s + = G 的闭环根轨迹图。 （要 求确定根轨迹的分离点、起始角和与虚轴的交点） 。 解：系统开环传递函数为 )23)(23)(5 . 3)(1( )( jsjssss K s + = G 有五个极点：（0，j0） ，（-1，0） ，= 1 p= 2 p= 3 p（3.5，0） ，（3，2） ， （3，-2） ，没有零点。 = 4 p = 5 p 分离点坐标计算如下： 0 2. 3 1 2. 3 1 5 . 3 1 1 11 = + + + + + + + + jdjdddd 05 .451465 .111354 234 =+dddd解 方 程 的5 . 3 1
10、=d， 44. 0 2 =d 265. 14 . 2 3 jd+=265. 14 . 2 4 jd= 取分离点为 44. 0=d 起始角： L, 2, 1, 0) 12( )( 11 = += = kk n ij j pp m j pzp iiiji 6 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 0 180 1 = p 0 0 2 = p 000000 937 .759013545.146180180 353432313 = ppppppppp 00000 4 0 937 .759013545.146180180 35432414 =+= ppppppppp 根轨迹如图所示。 与虚轴的交点：令js =
11、代入特征方程中 05 .455 .795 .435 .10 *2345 =+Ksssss 得到： 7 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 实部方程为：10 05 .795 . *24 =+K 虚部方程为： 05 .455 .43 35 =+ 解方程得到：5136. 6 1 = 0356. 1 2 =，将5136. 6 1 =代入实部方程得到不 符合要求，将 0 * t K ) 1( )1 ( )()( + + = ss sKK sHsG t 此时 ) 1( )( )()( * + + = ss zsK sHsG，1z设2= t K则 5 . 0=z 系统的根轨迹如下图： 23 胡寿松自动控制原理
12、习题解答第四章 （4）取，试求出时的闭环零、极点，并估算系统的动态性能。 5 . 0= t K10=K 系统的特征方程为：解方程的0106 2 =+ ssjs+=3 1 ，js=3 2 此时闭环系统没有零点、有一对共轭极点分别为js+=3 1 ，js=3 2 系统呈现二阶系统特性：阻尼比为 0.948，超调量近似为 1%。自然振荡角频率为 3.16。 4-19 设控制系统开环传递函数为 )4)(2( ) 1( )( 2 + + = sss sK sG 试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同? 解： （1）负反馈情况 系统有四个极点，p)0, 4(),0, 2(
13、),0, 0( 4321 jpjpjp=， 有一个零点 )0, 1 ( 1 jz= 系统根轨迹如下图所示： 24 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 系统的特征方程为： 0) 1(86 234 =+ sKsss 令js =代入特征方程中，得到： 实部方程为： 08 *24 =+K 虚部方程为： 06 3* =K 解上述方程得到：12 * =K，2= 所以当是系统稳定。 120 * K （2）正反馈情况 系统是一个零度根轨迹。 系统的特征方程为： 0) 1(86 234 =+ sKsss 系统有四个极点，p)0, 4(),0, 2(),0, 0( 4321 jpjpjp=， 有一个零点 )0, 1
14、 ( 1 jz= 系统根轨迹如下图所示： 25 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 所以系统闭环不稳定。 4-20 设控制系统如图 4-31 所示，其中为改善系统性能而加入的校正装置。若G 可从、和三种传递函数任选一种，你选哪一种？为什么？ )(sGc)(s c sKt 2 sKt)20/( 2 +ssKt R(s) 100 s+20 C(s) Gc(s) 10 s(s+10) 解： （1）G= 时系统的开环传递函数为：)(s c sKt 20 100 1010 10 )( 2 + = ssKss sG t 即： )20)(1010( 1000 )( + = sKss sG t 此时系统特征方程
15、为：s 0)20(10100020030 23 =+ssKss t 系统等效开环传递函数为： 10020030 )20(10 )( 33 + + = sss ssK sG t eq 26 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 （2）G=时系统的开环传递函数为：)(s c 2 sKt 20 100 1010 10 )( 22 + = ssKss s t G 即： )20)(1010( 1000 )( + = ssKss sG t 此时系统特征方程为： 0)20(10100020030 223 =+ssKsss t 系统等效开环传递函数为： 10020030 )20(10 )( 33 2 + + = sss ssK sG t eq 27 胡寿松自动控制原理习题解答第四章
