《2018-2019学年高中数学 第1部分 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的坐标表示讲义（含解析）苏教版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第1部分 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的坐标表示讲义（含解析）苏教版选修2-1（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、31.4空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.问题1：用i，j，k表示，.提示：ij，jk.问题2：若xiyjzk，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？提示：ijk，x1，y1，z1，(x，y，z)(1,1,1)与C1的坐标相同 在空间直角坐标系Oxyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使axiyjzk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标
2、系Oxyz中的坐标，记作a(x，y，z).空间向量的坐标运算一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|3 000 N，|F2|2 000 N，|F3|2 000 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F(3 000,2 000,2 000)问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|5 000 N.1设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a
3、2，a3)，R.2空间向量平行的坐标表示为ab(a0)b1a1，b2a2，b3a3(R)3一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标1确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标2空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量空间向量的坐标表示例1如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PAAB1.求向量的坐标思路点拨以、为单位正交基底建立空间直角坐标系，用、表示
4、，得其坐标精解详析 PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，、是两两垂直的单位向量设e1，e2，e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz.法一：()()e2e3，.法二： 如图所示，连结AC、BD交于点O.则O为AC、BD的中点，e2e3，.一点通用坐标表示空间向量的解题方法与步骤： 1.已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，的坐标解：设x、y、z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向与各轴上的正方向相同，则2e12e22e3，(2,2,2)2e12e2e3，(2,2,1)又e2，(0,1,
5、0)2.在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB，AO4，BO2，AA14，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求、的坐标解：(1)()().又|4，|4，|2，(2，1，4)(2)().又|2，|4，|4，(4,2，4)3已知向量p在基底a，b，c下的坐标是(2,3，1)，求p在基底a，ab，abc下的坐标解：由已知p2a3bc，设px ay(ab)z(abc)(xyz)a(yz)bz c.由向量分解的惟一性，得解得p在基底a，ab，abc下的坐标为(1,4，1).空间向量的坐标运算例2已知a(2，1，2)，b(0，1,4)，求：ab，ab,3a2b.思路点拨空间向量的加、减、数
6、乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似精解详析ab(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2，2,2)ab(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6)3a2b3(2，1，2)2(0，1,4)(6，3，6)(0，2,8)(6，5,2)一点通空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用4已知a(1，2,4)，b(1,0,3)，c(0,0,2)求：(1)a(bc)；(2)4ab2c.解：(1)bc(1,0,5)，a(bc)(1，2,4)(1,0,5)(0，2，1)(2)4ab2c(4，8,16)(1,0,3
7、)(0,0,4)(3，8,17)5已知O为原点，A，B，C，D四点的坐标分别为：A(2，4,1)，B(3，2,0)，C(2,1,4)，D(6,3,2)，求满足下列条件的点P的坐标(1)2()；(2).解：(1)(3,2,0)(2,1,4)(5,1，4)，2(5,1，4)(10,2，8)，点P的坐标为(10,2，8)(2)设P(x，y，z)，则(x2，y4，z1)，又(1,6，1)，(8，2,2)，(9,8，3)，(x2，y4，z1)(9,8，3)，解得所以点P的坐标为(11,4，2).空间向量的平行例3已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，1,2)，B(1,2，1)，C(1,1，3)，D(
8、3，5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形思路点拨证明且不平行，或证且|即可精解详析(1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，(3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)，与共线，即ABCD，又(3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，(1,1，3)(1,2，1)(2，1，2)，与不平行四边形ABCD为梯形一点通利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是：(1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标；(2)写出相应向量的坐标；(3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行6设a(1,2，1)，b(2,3,2)若(kab)(a
9、3b)，求k的值解：kab(k,2k，k)(2,3,2)(k2,2k3,2k)，a3b(1,2，1)(6,9,6)(7，7，7)(kab)(a3b)，k.7.如图，在长方体OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，点P在棱AA1上，且AP2PA1，点S在棱BB1上，且SB12BS，点Q、R分别是棱O1B1、AE的中点求证：PQRS.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)PA2PA1，SB12BS，Q、R分别是棱O1B1、AE的中点，P，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S. 于是.RPQ，P
10、QRS.1运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论2用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内对应课时跟踪训练(二十一) 1已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b_.解析：ba(ab)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,2)答案：(2，4,2)2已知点A在基底a，b，c下的坐标为(2,1,3)，其中a4i2j，b
11、2j3k，c3kj，则点A在基底i，j，k下的坐标为_解析：由题意知点A对应向量为2ab3c2(4i2j)(2j3k)3(3kj)8i3j12k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(8,3,12)答案：(8,3,12)3已知向量a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,0，)，若a、b、c三个向量共面，则实数_.解析：由a、b、c共面可得cxayb，解得10.答案：104已知a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，若ab，则x_，y_.解析：a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，又ab，显然y0，x，y.答案：5已知点A(4,1,3)，B(2，5,1)，C为线段AB上一点，且，则C点坐标为_
12、解析：设C点坐标(x，y，z)，则(x4，y1，z3)(2，6，2)，(2，6，2)，解得：答案：(，1，)6已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAD1，试建立适当的坐标系并写出向量，的坐标解：如图，因为PAADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，所以可设e1，e2，e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz.因为e2，()e2e3(e3e1e2)e1e3.所以，(0,1,0)7已知A、B、C三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)、(2,2,3)求点P的坐标，使：(1)()；(2)()解：(2,6，3)，(4,3,1)(1)(6,3，4)，则点P的坐标为.(2)设P为(x，y，z)，则(x2，y1，z2)()，x5，y，z0，则点P的坐标为.8. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，DADC4，DD13，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PEA1B?解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1
