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1、工程矩阵理论试卷样卷10b一、已知的子空间,分别求的一组基及它们的维数。解:的基为:,2维。的基为:,2维。设,比较,则,所以基为,1维。 为由生成的空间,其极大线性无关组为:,即为的基,3维。二、设上的线性变换定义为:,其中,表示矩阵X的迹。1、求在V的基,下的矩阵A;2、求的值域及核子空间的基及它们的维数;3、问:是否为直和?为什么?解:1、 ,2、的值域: 的基为,故 故的基即为的极大线性无关组:,为1维。核子空间:,的基础解系:,为3维。3、观察得:的基与线性无关,维数的和为4,故是直和。三、已知矩阵A的特征多项式及最小多项式相等,均等于,矩阵。分别求A和B的jordan标准形;问:A
2、与B是否相似?为什么?解:由矩阵A的特征多项式及最小多项式相等,均等于,得,。A与B相似,因为它们有相同的jordan标准形。四、已知矩阵,求A的广义逆矩阵解:对A进行满秩分解:,A应该分解为五、已知矩阵,其中,矩阵A,B的F范数及算子2范数分别是,试求和。解:F范数定义为,算子2范数定义为,表示A中特征值最大为3,表示B中特征值最大为2,M的特征值即为A、B全部特征值,故为A、B中特征值的最大值,。六、设V是一n维欧氏空间,是一单位向量,是一参数,V上的线性变换定义为:,问:当取何值时,是正交变换?解:扩充为V的一组标准正交基,则:若是正交变换,则A必须为正交矩阵,A的行向量或列向量必须为标准正交基。七、证明题:1、假如A是H阵,证明:是酉矩阵。证明:要证是酉矩阵,即证 根据矩阵多项式的性质, (与可交换)是酉矩阵2、设是相容矩阵范数,证明:对任意方阵A,A的谱半径。证明:设A的特征值,为与对应的的特征向量,有 两边取范数,是相容范数,(若考虑仅为方阵上的相容矩阵范数,则只需将扩充为的方阵即可)