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1、第四章 几类常见的地图投影,测绘学院 乔俊军 制作,第四章 几类常见的地图投影,4.1 圆锥投影 4.2 方位投影 4.3 圆柱投影 4.4 伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆 锥投影,4.1 圆锥投影,一、圆锥投影的一般公式及其分类 二、等角圆锥投影 三、等面积圆锥投影 四、等距离圆锥投影 五、圆锥投影变形分析及应用,一、圆锥投影的一般公式及其分类 1、圆锥投影的定义 假设一个圆锥面与地球面相切或相割,根据某种条件(等角、等面积、透视等)将地球上的经纬线投影到圆锥面上,然后沿圆锥面的一条母线(经线)切开展平,即得到圆锥投影。,4.1 圆锥投影,Conic Projection,4.1
2、圆锥投影,2、圆锥投影的分类 (1)按圆锥面与地球面的切割关系分: 切圆锥投影、割圆锥投影 (2)按圆锥面和地球面的位置关系分: 正轴圆锥投影、横轴圆锥投影、斜轴圆锥投影 (3)按投影的变形性质分: 等角圆锥投影、等积圆锥投影、任意圆锥投影,4.1 圆锥投影,3、圆锥投影的一般公式 以正轴圆锥投影为例 纬线投影后为同心圆圆弧,其半径是纬度 的函数,函数形式由投影性质和投影条件决定。 经线投影后为相交于一点的直线束,且夹角与经差成正比。,以某一经线的投影为X轴,以X轴和最南边纬线s的交点为原点,建立平面直角坐标系:,4.1 圆锥投影,设平面梯形ABCD是地球面上微分梯形ABCD的投影,根据经纬线
3、长度比定义有:,在正轴圆锥投影中,经纬线投影后仍保持互相垂直,所以经纬线方向就是主方向,即,4.1 圆锥投影,m=a,n=b,根据面积比和角度变形定义有:,现将圆锥投影的一般公式汇集如下:,在这组公式中,由于的函数形式未定,函数式中还有待定的圆锥系数,需要根据投影条件进一步确定。,4.1 圆锥投影,二、等角圆锥投影(Lambert Conformal Conic Projection) 根据等角条件= 0,即m=n,来确定= f()的函数形式:,4.1 圆锥投影,4.1 圆锥投影,现将等角圆锥投影的一般公式汇集如下:,在这组公式中,仍然有常数和K 需要确定,但由于确定的方法比较多,所以各种不同
4、形式的等角圆锥投影也比较多。,4.1 圆锥投影,1、单标准纬线等角圆锥投影 设圆锥面切于地球0的一条纬线上,即 n0=1,则,4.1 圆锥投影,2、双标准纬线等角圆锥投影 设圆锥面割于地球1、 2的两条纬线上,即n1=n2=1。,相减得,4.1 圆锥投影,3、应用举例:百万分一地图等角圆锥投影 1962年国际制图会议规定:1100万地图按国际标准分幅,采用双标准纬线等角圆锥投影,自赤道起按纬差4分带,对每带单独进行投影。北纬84以北和南纬80以南的地区,则采用等角方位投影。,双标准纬线规定如下:,投影常数按下式计算:,4.1 圆锥投影,自1978年以后,我国1100万地图采用等角圆锥投影,分幅
5、与国际分幅一致,但标准纬线与国际上稍有差异,并规定根据边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件确定投影常数,即:,4.1 圆锥投影,对于纬差4为一带的圆锥投影来说。2之值为910-8,它对投影计算和实用精度,都没有什么影响,故可略去。,两条标准纬线的近似式为:,4.1 圆锥投影,三、等面积圆锥投影(Albers Equivalent Conic Projection) 根据等面积条件P=1,即mn=1,来确定= f()的函数形式:,为经差1弧度,纬差从0到纬度 的椭球面上的梯形面积。,4.1 圆锥投影,现将等面积圆锥投影的一般公式汇集如下:,在这组公式中,仍然有常数和 c 需要确定,但由于确定的方法
6、比较多,所以各种不同形式的等面积圆锥投影也较多。,4.1 圆锥投影,1、单标准纬线等面积圆锥投影 设圆锥面切于地球0的一条纬线上,即 n0=1。则,4.1 圆锥投影,2、双标准纬线等面积圆锥投影 设圆锥面割于地球1、 2的两条纬线上,即n1=n2=1。,相减得:,相除得:,4.1 圆锥投影,四、等距离圆锥投影 根据等距离条件,即m=1,来确定= f()的函数形式:,s为赤道到某纬度 的经线弧长。,4.1 圆锥投影,现将等距离圆锥投影的一般公式汇集如下:,在这组公式中,仍然有常数和 c 需要确定,但由于确定的方法比较多,所以各种不同形式的等距离圆锥投影也较多。,4.1 圆锥投影,1、单标准纬线等
7、距离圆锥投影 设圆锥面切于地球0的一条纬线上,即 n0=1。则,4.1 圆锥投影,2、双标准纬线等距离圆锥投影 设圆锥面割于地球 1、 2 的两条纬线上,即n1=n2=1。,相减得:,相除得:,4.1 圆锥投影,五、圆锥投影变形分析及应用 1、由切割关系决定的变形特点 (1)圆锥投影的各种变形均是纬度 的函数,与经度无关,同一纬线上 的变形是相同的。 (2)在切圆锥投影中,标准纬线上的长度比n0=1,其余纬线上长度比均大于1,并向南、北方向增大。 (3)在割圆锥投影中,在双标准纬线处的长度比n1=n2=1,变形自标准纬线向内、向外增大,在双标准纬线之间,n1。,4.1 圆锥投影,2、由投影性质
8、决定的变形特点 (1)等角圆锥投影:经线长度比与纬线长度比相等(m=n),角度没有变形,但面积变形较大(P=m2) 。 (2)等面积圆锥投影:经线长度比与纬线长度比互为倒数(mn=1),面积没有变形,但角度变形较大。 (3)等距离圆锥投影: 变形介于等角投影与等 面积投影之间,经线长 度比保持为1(m=1), 纬线长度比与面积比相 等(n=P)。,4.1 圆锥投影,3、圆锥投影的应用 地球上广大陆地位于中纬度地区,并且圆锥投影经纬线形状简单,最适于制作中纬度沿东西方向延伸的地图。 (1)等角圆锥投影:多用于方向保持正确的图种,如我国的百万分一地形图、中国全图、分省地图等。 (2)等面积圆锥投影
9、:多用于面积比保持正确的图种,如分布图、类型图、区划图等自然资源图与社会经济图。 (3)等距离圆锥投影:多用于各种变形要求适中的图种,如原苏联出版的苏联全图采用此投影。,4.1 圆锥投影,4、标准纬线的选择 (1)如果制图区域纬差不大,可采用单标准纬线圆锥投影。 单标准纬线的选择非常简单,只需要制图区域南北边纬线的纬度S,N取中数,并凑整即可。 (2)如果制图区域纬差较大,应采用双标准纬线圆锥投影。双标准纬线的选择可以使用下列近似公式求得。 应用该式推求标准纬线,基本符合 边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件。,4.1 圆锥投影,4.2 方位投影,一、方位投影的一般公式及其分类 二、等角方位投影
10、 三、等面积方位投影 四、等距离方位投影 五、透视方位投影 六、方位投影变形分析与应用,一、方位投影的一般公式及其分类 1、方位投影的定义 假设一个平面与地球面相切或相割,根据某种条件(如等角、等面积、透视等)将地球上的经纬线投影到该平面上,即得到方位投影。,4.2 方位投影,Azimuthal Projection,4.2 方位投影,2、方位投影的分类 (1)按平面与地球面的切割关系分: 切方位投影、割方位投影 (2)按平面和地球面的位置关系分: 正轴方位投影、横轴方位投影、斜轴方位投影 (3)按投影的变形性质分: 等角方位投影、等积方位投影、任意方位投影,4.2 方位投影,(4)按投影的透
11、视关系分,外心透视方位投影 正射透视方位投影,球心透视方位投影 内心透视方位投影 球面透视方位投影,4.2 方位投影,3、方位投影的一般公式 以正轴方位投影为例 纬线投影后为同心圆,其半径是纬度 的函数,函数形式由投影性质和投影条件决定。 经线投影后为同心圆的直径,两经线间的 夹角与相应经差相等。 为了扩大方位投影的应用,我们引进球面极坐标的概念,通过地理坐标与球面极坐标的换算,仍然利用正轴方位投影的公式,可以很方便地实现斜轴和横轴投影的计算以及经纬网的构成。,4.2 方位投影,为了计算方便,我们视球体为正球体, 这样我们便可以采用由球面三角推导出的 地理坐标(,)与球面极坐标(Z,) 之间的
12、转换公式。 假定新极点坐标(0,0),计算斜 轴或横轴方位投影时,可分别采用以下两组公式计算球面极坐标:,正轴和横轴都是斜轴的特例,斜轴,横轴,4.2 方位投影,投影平面与地球面的位置关系如图所示,以Q为极点的等高圈和垂直圈分别代替纬圈和经圈。这时过A点等高圈的天顶距Z相当于90,过A点垂直圈的方位角相当于,有:,以通过Q点的经线的投影作X轴,过Q点与经线投影相垂直的直线作为Y轴,则平面直角坐标公式为:,4.2 方位投影,设平面梯形ABCD是地球面上微分梯形ABCD的投影,根据垂直圈和等高圈长度比的定义,有:,主方向,即1=a, 2=b,根据面积比和角度变形定义有:,由于本投影的垂直圈和等高圈
13、投影后仍保持互相垂直,所以垂直圈和等高圈方向就是,4.2 方位投影,现将方位投影的一般公式汇集如下:,在这组公式中,由于的函数形式未定,需要根据投影条件进一步确定。,4.2 方位投影,二、等角方位投影 根据等角条件=0,即1=2,来确定= f(Z)的函数形式:,在该公式中,仍然有常数K需要确定,下面我们讨论确定常数K的方法。,4.2 方位投影,为了确定常数K,我们设投影平面割于地球Zk的一条等高圈上,即2K=1,有:,4.2 方位投影,现将等角割方位投影的公式汇集如下:,4.2 方位投影,当ZK0时,即得到等角切方位投影的公式,对于正轴情况下,只需要用代替,用90 代替Z ,即得到正轴等角方位
14、投影公式。,4.2 方位投影,三、等面积方位投影 根据等面积条件 P=1,即12=1,来确定= f(Z)的函数形式:,4.2 方位投影,现将等面积方位投影的公式汇集如下:,对于正轴情况下,只需要用代替,用90 代替Z ,即得到正轴等面积方位投影公式。,4.2 方位投影,四、等距离方位投影 根据等距离条件,即1=1,来确定= f(Z)的函数形式:,4.2 方位投影,现将等距离方位投影的公式汇集如下:,对于正轴情况下,只需要用代替,用90 代替Z ,即得到正轴等距离方位投影公式。,4.2 方位投影,五、透视方位投影 透视方位投影是用透视原理来确定= f(Z)的函数形式,如图所示:,4.2 方位投影
15、,现将透视方位投影的公式汇集如下:,在这组公式中,由于视点 D 的位置还没有设定,需要根据视点D 的位置进一步确定透视关系。,4.2 方位投影,根据视点与球心的相对距离 D,透视方位投影可分为: 1、当 D= 时,正射投影。 2、当 RD 时,外心投影。 3、当 D=R 时,球面投影。 4、当 0DR 时,内心投影。 5、当 D=0 时,球心投影。,4.2 方位投影,根据投影面与地球的相对位置(0,0),透视方位投影可分为: 1、当0=90时,正轴投影。 2、当0=0时,横轴投影。 3、当0090时,斜轴 投影。,4.2 方位投影,六、方位投影变形分析与应用 1、由切割关系决定的变形特点 方位
16、投影的各种变形均是天顶距Z的函数,与方位角 无关。同一等高圈上的变形是相同的。 在切方位投影中,切点Q上没有变形,其变形随着远离Q点而增大。 在割方位投影中, 所割的等高圈上2=1, 其他变形自所割等高 圈向内、向外增大。,4.2 方位投影,2、由投影性质决定的变形特点 等角方位投影:垂直圈长度比与等高圈长度比相等(1=2),角度没有变形,但面积变形较大(P=12)。 等面积方位投影:等高圈长度比与垂直圈长度比互为倒数(12=1),面积没有变形,但角度变形较大。 等距离方位投影:变形介于等 角投影与等面积投影之间,垂直圈 长度比保持为1(1=1),等高圈 长度比与面积比相等(2=P)。,4.2