标准最优化结构的解释

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1、麻省理工学院麻省理工学院 电气工程与计算机科学系电气工程与计算机科学系 6.245：多变量控制系统：多变量控制系统 A. Megretski* 标准最优化结构的解释标准最优化结构的解释 1 这是标准反馈最优化结构的第二次演讲。本讲要描述 H2 和 H-性能测度的不同方式， 提出简化非标准对象到标准格式的注意事项。 2.1 系统和信号背景系统和信号背景 本节给出理解本次演讲所需的有关系统和信号的基本背景。 2.1.1 连续时间信号与系统连续时间信号与系统 把连续时间（CT）信号考虑为时间t的实数向量值函数是很方便的，其中), 0t且是 任意有界区间可积的。从这个观点看， 2/1 1 = tf（因

2、为数学上的精确性原因，t0 时定义 为零）和 2 2 t ef=是信号，而 1 3 = tf（其中f3(0) = 0）和)( 4 tf=（Delta ）就不是。所有 值在 Rk中的信号集合被表示为 k L。 一个有k维输入和m维输出的连续时间系统S就是一个映射S： km ?LL（通常是多 值的，这样一个输入 k f L有可能对应很多个可能输出 m gL） 。例如，常见的纯积分系 统（传递函数为1/s）就把一个信号映射为很多信号的形式 += t dfctg 0 0 ,)()( 其中c0是任意常数。总之，如图2.1，因为系统的输出也许依赖于一组辅助参数（例如，系 统的初始状态） ，所以它没必要是唯

3、一的，在上面描述的纯积分系统中，常数c0就扮演着初 始状态的角色。 图2.1:带初始条件的系统 * CA Megretski,2004 1 2004 年 2 月 9 日版本 2.1.2 离散时间信号与系统离散时间信号与系统 我们把离散时间（DT）信号考虑成连续时间信号，它只是在一些均匀间距的时间点tk = kT时改变值，其中T 0是固定的实数值，被称为离散时间的采样率，而k是非负整数。离 散时间信号的通常含义是指，如果从零点开始以间距T均匀的采样，则t 0的每一个时间 点都表示的是信号最近的一次采样值。例如，以采样率T1采样连续时间信号 )cos()(ttf=得到一个离散时间信号 1,1,0,

4、2,4,. ( ), 1,1,1,3,5,. d ktkk ft ktkk 0的离散时间信号。根 据采样值序列fk=f(kT)，)(kTxkx=和)(kTgkg=，方程有形式 , 1kBfkAxkx+=+ （2.5） ,kDfkCxkg+= （2.6） 对复数z，如果zIA可逆，则系统的传递矩阵(当f和g都是标量时，即传递函数)定义为 H(z) = D + C(zI - A)-1B。 2.2 H-范数和范数和 H2 范数的解释范数的解释 在反馈最优化中，H-范数和H2范数经常用来作为成本测度。本节是对范数作为性能 测度的说明。 2.2.1 有限阶有限阶 LTI 系统的系统的 H-范数和范数和

5、H2 范数范数 令 AB H CD = 为有限阶状态空间CT LTI模型。如果A是Hurwitz矩阵，也就是如果A的所有特征值都有 负实部，该模型被称为是稳定的。 H的H- 范数 H被定义为它的传递函数在虚轴上最大的单值的上确界（上界的最小 值） ： max sup(),HH j = R 其中 H(s) = D + C(sI - A)-1B 而且，对于每一个k m复数矩阵M， max ,| | 1 ()max, uu MMu = = m C 且|v|表示向量v的标准Hermitean范数（长度） 。 如果 H是离散时间系统，虚轴的最大值就被单位圆的最大值所取代： max , sup() j H

6、H e =。 当D0时，有限阶稳定CT LTI系统的H2范数 2 |H由积分 2 2 trace( ( ) ( ) )trace()() ), 0 Hh t h tdtH jH jd = 定义，其中 h(t) = CeAtB 是H的脉冲响应矩阵。 在离散时间情况时（其中D 0也是允许的） ，H2范数为 2 2 0 1 trace()trace()trace()() ) 2 kk k HD DB AC CA BH jH jd = =+= 。 2.2.2 H-范数作为范数作为 L2 增益增益 连续时间系统S，输入为f = f(t)，输出为g = g(t)，其L2（严格说是“L2-L2” ）增益定

7、义为对尽量小的 0，对所有的输入输出对g = S(f)，有 22 2 0 0 inf( )( ) T T f tg tdt 其中输入f对于随意的有限区间是平方可积的。离散系统的定义相似，积分用求和取代 22 2 0 0 inf N N k f kg k = ， 其中g = S(f)。 该定义的非正式根据如下：对于“零初始条件” （无论意味着什么） ，我们都期望输出的 “能量”被限制在输入时间的L2增益平方能量范围内。既然在零输入条件下，非零初始条 件也能产生非零输出，实际的定义必须在一个方向限制能量之间的差。 L2增益是鲁棒分析中的一个关键概念。H-范数的重要性主要在于以下事实，就是对 于稳定

8、的有限阶LTI系统，H-等于L2增益。 定理定理 2.1 一个稳定的有限阶LTI系统的L2增益就等于它的H-范数。 证明证明 考虑连续时间情况（离散时间情况也是相似的） 。令HH(s)为系统的传递函数。 为了证明L2增益并不大于H-范数， 使用Parceval定理。 首先考虑零初始条件的情况， 对任意输入信号f和T0，令信号fT为 ( ), ( ) 0,. T f t tT ft tT 。 由对G的假设有，对r (0，1) 2222 1212 0 0 inf T T rrzzdt + 。 结合这两个条件得出 22 22 0 0 inf | T T rzdt 。 2.3.2例子：由小增益定理得到

9、例子：由小增益定理得到L2增益最优化增益最优化 考虑对图2.3中的标准结构设计一个反馈控制器，其中G是一个带延迟的不稳定线性 时不变对象， ( ), 1 s e P s s = 而且F是要设计的控制器，在低频时保证能很好的跟踪参考输入r。 图2.3：带延迟的反馈设计 在限定逼近误差条件下，我们从用一个低阶传递函数逼近P的稳定部分开始： 0 ( )( )( ) ( ),P sP sW ss=+ 其中 0 1 ( ), 110.5 10.5 e P s ss = + 1 ( )0.042, 10 s W s s + = + 而且已知(s)的H-范数小于1。相应的反馈设计图如下所示。 tau=0.1

10、; s=tf(s); G0=-(tau/(1+tau/2)/(1+tau*s/2); W=linspace(0,100,10000); G0w=squeeze(freqresp(G0,w).; Gw=(exp(-tau*j*w)-exp(-tau)./(j*w-1); max(abs(G0w-Gw).*(1+j*w/10)./(1+j*w); P0=exp(-tau)/(s-1)+G0; g=5; d=150; A,B,C,D=linmod2(lec2_ex1a); p=pck(A,B,C,D); k=hinfsyn(p,1,1,0,20,0.01); 2.3.3 H2的小增益定理的小增益定理

11、 H2范数也可以作为反馈回路增益的白噪声摄动的鲁棒性测度。 对于输入为f输出为g的连续时间系统，受其约束的小增益为不等式形式 22 2 00 ( )const( ), TT g tdtf tdt+ 其中常数const依赖于输入输出对(f，g)。离散时间的情况可以给出类似的定义。当处理随机 信号和系统时，L2增益约束条件可以由“期望值”取代 22 2 00 ( )const( ), TT g tdtf tdt+ EE 而且很容易说明小增益定理 （导致一个H-范数界值， 可以作为一个线性时不变系统全局稳 定和性能的条件）仍然有效。 现在考虑一个增益约束随机的“不确定”模块的非常特殊情况。我们把一个

12、随机连续 时间列向量信号g称作非相关的，如果它有零均值，并且对于每一个平方可积行向量函数p p(t)有 22 11 2 22 ( ) ( )( )( ) tt tt p t g t dtp tg tdt= EE 在离散时间的情况，对于每个行向量序列ppk简单的要求 22 11 2 22 kk k kk k p k g kp kg k = = EE。 定理定理 2.4 令G为一个稳定的有限阶LTI系统，有两个输入1和2，有两个输出z1和z2（i 和zi都可以是向量） 。令Gij表示zi对i的相关性。假设是不相关的，对于所有的t有 2 1( ) 1t=E， 2 22 2 1G，且对所有的T有 22

13、 22 00 ( )const( ), TT tdtz tdt+ EE 则 22 22 1221 22 111 22 0 22 2 1 limsup( ) 1 T T GG z tdtG T G + E。 2.3.4 例子：例子：H2小增益分析小增益分析 考虑一个简单的例子， 这个例子可以很容易的用或者不用小增益观点解决。 一个随机一 阶离散时间动态系统 21 1( ) ,y kabv ky kv k+=+ 其中a，b是已知实系数，v = v1；v2是严格意义上的白噪声信号，也就是说， 2 1, i v k=E 0, i v k=E 对于t k，vik与yt和vit -1独立。当k 时， 2

14、y kE的渐近值是多少？ 这个问题可以不用H2小增益定理就能容易的回答，因为 2222 1() 1,y kaby k+=+EE 这能立即得到除非a2 + b2 1，否则 2 y kE的渐近值是无穷，这种情况下 2 22 1 limsup 1 k y k ab = E。 为了在这个情况下应用H2小增益定理，用 12 z kz ky k=， 11 kv k=， 2 .kv k y k= 则z和w通过传递矩阵为 1 ( ) 1 b zaza GG z b zaza = = 。 的LTI变换是相关的。 假设|a| 1， 22 1121 222 1 , 1 GG a = 2 22 1222 222 1 b GG a = 。 基于这些假设vik，信号 12 ; =不相关，而且对于所有的k有 22 22 kz k=EE。因此 应用H2小增益定理，得到上界 22 2 1221 222 111 2222 1 22 2 11 limsup 1 1 N k k GG z kG Nab G = += E 。