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1、零（0）并非数-关于数的概念的论证张学刚 2010/6/4山东省莱西市266618摘 要：“数学”是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。而数论，则是一门古老的基础数学学科分支，他是研究整数性质和相互关系的理论。对于数“数”，上至白头老翁，下到咿呀学语的孩童，无人不知，无人不晓。然而，要问到什么是“数”？目前谁都给不出一个科学的令人信服的答案。本文通过对数学科学发展的历史的深于研究，从理论层面上，对“数”的概念进行了论证和定义，对“数”赋予了全新的概念。由此建立了一个“数”的三维数学模型。 关键词：概念，数，基数，自然数，整数,数学模型。1.引言 作为一切科学的基础与灵魂的数学，历经数千年几
2、百代数学家殚精竭虑费尽心机的不断努力，淀积人类智慧的精华，融合不同文明的科学成果，已成为人类认识自然、服务社会的重要工具。然而，就数学本身而言，尚有许多疑难问题亟待解决。如“数”为何物？亦即什么是“数”？从古至今，在世界数学界，从理论上，还没有人明确提出并给出一个令人信服，学术界公认的科学概念（虽然现代“数理逻辑”的创始人弗雷格毕生致力于逻辑概念的研究，但是，在他77载的人生旅途中，也未能解决数的概念问题）。从而，导致了数学科学领域那些最基本的数学问题悬而未决，也因此造成了数论领域的许多糊涂认识乃至错误的理论（用弗雷格的话来说，“在工作已经结束时，自己建造的大厦的一块主要基石却动摇了，对于一个
3、科学家来说，没有比这更让人沮丧了” ）。如：0（零）是否是一个“数”？“自然数”是否就是“正整数”？等等。然而，新的数学概念的建立，可使这门古老的基础科学焕发新的青春。新的数学关系的建立，新的数学方法的运用，可使一些新的规律被发现，从而使的数论领域中那些经典难题得到最终解决。2. 论证2.1“数”的基本概念关于“数”的概念问题，一直以来，从小学到大学，直到从事数学基础理论研究的最高领域.基本上是定位在“一个一个的数就产生了数”（华罗庚-数论导引），这样一个感性认识的层面上。当然,对于一个小学生而言，给“数”这样一个解释也不无道理。但是，对于大学生及专业的数学基础理论研究人员，这样去简单的定义这
4、门高深的“数”学，未免有些欠妥。道理很简单，因为，数学是研究现实世界客观事物（数量关系和空间形式）的内在规律和逻辑关系的科学。事物的这种规律和关系既不以人们的认知而存在，也不因人们的无知而消失。亦即“数”在我们一个一个的数之前，就天然存在着“数”这样一种数学逻辑关系。这就需要我们去研究并发现这一数学逻辑关系的属性，对其做出科学的诠释和定义。这一极其简单的问题为何在科学高度发达的今天还没有人提出并解决呢？原因在于，从古至今,作为人类的我们，无论你是一介草民，还是一个最伟大的科学家。都是在乳臭未干，咿呀学语时，在妈妈的怀抱里学会数“数”的，通过数“数”，在孩童大脑的思维意识中形成了数的概念（这一概
5、念的形成，就好像似烧制在电脑芯片上的无名程序）。遗憾的是，作为父辈，在教孩子学会数“数”时，从来没有(也不可能)想到,需要从理论上对“数”加以论证,并明确告诉孩子什么是“数”？这样一个极其重要数学概念。事实上，所有父辈的父辈均未（也不可能）做到这一点。因此，造成了在科技高度发达的今天，人云亦云，人人识“数”，而人人不知何谓“数”的局面。 那么，什么是数呢？我们知道,数学科学的发展,起源于人类早期的生产活动，是伴随着人类文明的不断发展而发展起来的。科学的历史告诉我们,要预知科学的未来,最好的途径是了解这门科学的历史。因为，今天的根,深扎在过去。翻开人类文明发展的历史,去追寻人类对数学科学的认知过
6、程,就会发现,无论是从古巴比伦文明中，阿卡德人的泥版契形文字；还是古埃及文明中的象形数字记号；无论是古印度文明中典型的Brahmi式记号；还是在古中国文明中的“结绳记事”。及后来原始公社末期仰韶文化1234的符号、商代中期甲骨文中十进制数字和记数法。在古人类这四大文明发源地各自不同的文明发展史中，我们不难发现，各自建立了不同的计数方法和计数体系，来表示和表达了现实世界客观事物相同的数学逻辑关系。真可谓殊途同归，九九归一。毫无疑问，人类在漫长的进化过程中，对数的认识，首先来之于对客观世界的观察与认知，通过对周围千变万化的自然事物，长期不断的观察，为了人类生产生活的需要，在人类的思维意识中，形成了
7、对周围的各种不同“单位事物”，以及同一单位事物的不同“单位事物”含量的区分鉴别能力。这种思维意识和思维能力，就形成了人类对数的概念的认知。作为一种直观的感性认识，通常所说的数，乃是泛指现实世界里，各种固有（或特定）的“单位事物”。如：树上有多小“个果子”；家里有多少“只鸡”；做衣服需要多少“尺布”；天上有多少“颗星星”； 等等。我们数“数”的过程，实质上是把某种固有（或特定）大小的 “单位事物”，作为一个基本的“计量单位”（亦即所谓的“基数”）；把这些 “计量单位(基数)”的不同含量（亦称之为“自然数”）。并按照其含量的多少, 按从少到多（或从小到大）的级别，对“单位事物”的所有不同含量进行排
8、序的过程。通过对“单位事物”的不同含量的排序，来区分和鉴别“单位事物”的多少(或大小)的不同。这个过程实际上是人类的思维意识中形成数的概念，以及认知其数学逻辑关系的过程。这种逻辑关系则是指“单位事物”的单位“位级”间的相互关系（亦即是指整数之间的相互关系）。所以说，作为一个从现实事物中抽象出来的数学概念，从理论上说，“整数”乃是指：在特定时空范围内，现实世界中的各种固有（或特定）的 “单位事物” 的单位“位级”。它是反映客观事物内在数学逻辑关系的序码，以及空间形式的载体；是宇宙万物一切科学的“数”学基础。2.2 “数”的性质、分类与计数人类经过漫长的进化及知识的积累，学会采用特有的文字和符号,
9、对数（“基数”的各种不同含量即各个不同的“自然数”）加以标记和表示。这就是人类文字计数体系的开始，是人类文明史上的一次大的飞跃。它标志着人类对数的概念认知的形成。这些标记和表示“单位事物”不同含量的文字符号，就是通常我们所熟知的数字(或数码)，亦即是通常意义上的数。我们习惯上把这些表示“单位事物”含量的文字符号称之为“自然数”。亦即人人皆知的1，2，3，n。因为“自然数”是反应客观世界各种单位事物相互数量关系的数，所以也叫“客观数”。 随着人类活动的社会化，以及以人类为主体的社会政治经济活动的需要。仅凭自然数无法满足人类社会活动的需要。这就产生了以人类为主体，反应主观世界的各种单位事物相互数量
10、关系的数-主观数。亦即大家熟知的正整数及负整数。下面用两个三维图形描述性地来说明数通过图一及图二我们可以看出，通常所说的数，包含三个意义：一是表示给定“单位事物”的大小，亦即基数；如，一个，一对；一斤，一吨；一尺，一丈；等等，它是计量“单位事物”的含量基础单位。二是表示给定“单位事物”的含量，亦即自然数；如一个，两个，三个；一米，两米，三米；一斤，二斤，三斤等等。三是表示给定“单位事物”的不同单位含量在“数系”中所处的 “位级”。亦即整数（包括正整数，负整数）。也就是说，作为一个抽象化的数学概念，我们常常是把一个，一米，一斤等等放在同一个“位级”来考虑；把二个，二米，二斤等等不同单位的事物放在
11、同一个“位级”来考虑。我们只所以说整数是给定“单位事物”的“位级”。一方面是因为现实世界中，各种单位事物是不尽相同的，而各种单位事物的“位级”却是相同的。这也是我们习惯上把各种不同的数学问题，放在同一个“数学模型”下运算的根本原因。另一方面，在现实世界里，任何事物的“单位事物”含量是有限的，而任何给定“单位事物”的“位级”是无限的。所以说：“整数”-就是在特定时空范围内，按所给定（空间）单位，从某一基点（基线或基面）上，按一定方向不断递增或递减的“位级”。“数”-是泛指现实世界里各种固有（或特定）的“单位事物”。“基数”-是指现实世界里各种固有（或特定） “单位事物”的大小。“自然数”-是指现
12、实世界里各种固有（或特定）大小 “单位事物”的含量。“整数”-泛指现实世界里，各种固有（或特定） “单位事物”的单位 “位级”。-它是在特定时空范围内,按所给定单位为一“基数”,从某一基点，亦称原点或界(线或面)点上,按一定方向不断递增和递减的位级。那些不断递增“位级”之一，称之为正整数，全体正整数组成正整数系（或正整数域）；那些不断递减的“位级”之一，称之为负整数，全体负整数组成负整数系（或负整数域）。正整数系（或正整数域）和负整数系（或负整数域），组成整数系（或整数域）。 在计数时，习惯上常用六十进位，十进位，二进位等等多进位制。但是，对于“数”本身而言，它是一进位制的，即：其每增加（或减
13、小）一个“单位事物”，它就增加（或减小）一个单位事物的“位级”。亦即，任何一个“数”，在“数系”中，均有一个唯一的“位级”相对应（在1进位制计数法中是不需要圈“0”顶位的）。应当指出，作为单位事物“位级”的基点-（习惯上称零点，准确的表述应称其为基点或原点-即点“”)，以及各单位“位级”的分界点（亦称界点）因其只有区分单位事物各“位级”的作用，并不属于“单位事物”本身，因此在数学中使用的“0”不具有“数”的属性，即“0”不是一个“数”。亦即“零”在数学上不能作为一个单独的数来使用。所以，自然数及整数均不包含零（这和多进位制计数法中所使用的“0”的意义是不同的）。当然，在多进位制（二进，十进，十
14、六进，-等等大于二进制）计数法中，对零的引进及使用是非常必要的，因为，人类没有必要（也不可能）创造出无穷多个符号来表示无穷多个数；与多进位制计数法本身一样，“0”（ “零”）的引进和使用，是人类数学科学计数法的一大进步，在此，应当加以肯定。不过在引进使用中，其概念应当加以论证，使其切合实际，只有这样，才不会出现不必要的误区，才会更有益于人类对数学科学的正确认识。3. 结束语 以上关于“数”的概念的讨论,实属本人三十余年对传统数学基础理论深于研究学习之所得。是在继承传统数学理论精华和摒弃习惯错误认识基础之上的理论创新。 今将这“一家之说”，权当引玉之砖，以邀天下同仁的共同研讨。我想，只有这样才能裨益于数学科学的健康发展。因为，一个科目的发展是有汇集不同方面的成果，点滴积累而成的。常常需要几十年，甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步，不但这些科目并未锤炼成无缝的天衣，就是那些已经取得的成就，也常常只是一个开始，许多缺陷有待填补，或者真正重要的扩展还有待大家去共同创造。参考文献1华罗庚，数论导引北京科学出版社1979。2陈景润，初等数论北京科学出版社19783。美M克莱因，古今数学思想（中译本）上海科学技术出版社1979。
