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1、 WORD资料可编辑 圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 点到直线的距离 夹角公式：直线 夹角为， 则（3）弦长公式直线上两点间的距离 （4）两条直线的位置关系（） =-1 （） 或者（）两平行线距离公式 距离 距离2、圆锥曲线方程及性质1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常
2、数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。若|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程表示的曲线是_（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且A，B，C同号，AB）。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： 距离式方程： 参数方程： 若，且，则的最大值是_，的最小值是_（答：）（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1（）
3、。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且A，B异号）。如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_（答：）（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答：）（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：
4、范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆的离心率，则的值是_（答：3或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_（答：）（2）双曲线（以（）为例）：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近
5、线：。双曲线的方程的形式有两种 标准方程：距离式方程：（3）抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。如设，则抛物线的焦点坐标为_（答：）；5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内6.记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。 （2） （3）7.椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设、，为椭圆的弦中点则有，；两式相减得=2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题
6、吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为，A
7、D垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出ABAC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有两式作差有 (1)F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得直线BC的方程为2)由ABAC得 （2）设直线BC方程为，得， 代入（2）式得，解得或直线过定点（0，设D（x,y），则，即所以所求点D的轨迹方程是。4、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三
8、点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,建立目标函数，整理,化繁为简. 解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得 ， 设双曲线的方程为，则离心率由点C
9、、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ， 由式得 ， 将式代入式，整理得 ，故 由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示，回避的计算, 达到设而不求的解题策略 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 5、判别式法例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作
10、与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：把直线l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式直线l在l的上方且到直线l的距离为解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程有唯一解简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为： 于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程
11、有唯一解，得其判别式，就可解得 .点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由
12、A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数. 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设，则由可得：，解之得： （1）设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化
13、简得： (3)与联立，消去得：在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得 故知点Q的轨迹方程为： （）.点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6、求根公式法例5设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的
