第四章 无限自由度系统,§4-1 杆的横向振动,§4-2 弦线的横向振动,§4-3 圆轴的横向振动,§4-4 梁的振动微分方程,实际的工程结构实质都是由连续分布的质量和连续分布的刚度所组成，即连续体，在一定条件下简化成离散的多自由度系统，是必要的合理的 但在某些条件下用连续体模型描述更合理例如细长飞行器（导弹，火箭结构），细长比大于4时可用连续的变截面梁模型描述，小于4时可用弹簧质量块模型描述 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，而是偏微分方程 这些主振型之间也存在着关于质量和刚度的正交性；,注意：在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的例如：, 任何一个弹性体具有无限多个固有频率及与之相应的主振型；, 弹性体的自由振动也可以表示为各主振动的线性叠加；, 对于弹性体的动响应分析振型叠加法仍然是适用的本章讨论理想弹性体的振动，即满足以下三个条件的连续系统模型： 均匀分布 各向同性 服从虎克定律,§4-1 杆的纵向振动,,,——该方程为一维波动方程，a为纵波在杆内的传播速度。
显然第n个振型有n-1个节点§4-1 弦线的横向振动,设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为 T ，跨长为 l ，弦单位长度的质量为 ρ ，两支点连线方向取为 x 轴，与 x 轴垂直的方向取为 y 轴，如图，, 波动方程,弦振动示意图,4.1 弦的振动,弦振动示意图,设弦的振动发生在xoy平面内，弦的运动可表示为y = y(x,t) 并假设弦的振动幅度是微小的，即 y 与 均为小量；在这些假设下，弦的张力 T 可近似地看作常量再设重力与阻尼的影响均可略去不计在自由振动中，弦的微元 dx 的受力图如下, 运动微分方程为,又因为：,,,,,,,,,,,整理得,设,——波动方程,——弹性波沿弦向的传播速度 ——具有m/s的量纲,即,故有,描述弦振动的函数y(x,t) 可以分解为空间函数与时间函数的乘积,其代入波动方程可得:,要使上式对任意的 x 与 t 都成立，必然是二者都等于同一个常数设这一常数为 ，得如下两个常微分方程, 频率方程,分离变量法求解波动方程,即,其中： X(x) 是振型函数，它表示整个弦的振动形态； Y(t) 表征点的振动规律于是，上述方程可改写为,可解得,其中： Y(t) 表征点的振动规律， 为固有频率， 相位角 X(x) 是振型函数，它表示整个弦的振动形态,弦振动（波动方程）的通解为,其中： C’ 、D’ 、 、 由边界条件和运动的初始条件确定。
两端固定：, 边界条件,,,由边界条件得,得,由此可确定一系列固有频率,只能是,—— 弦振动的频率方程,即,可见，张紧弦的自由振动，除了基频（最低频率）振动外，还包含频率为基频整数倍的振动这种倍频振动亦称为谐波振动弦对应于各阶固有频率的主振动为,而弦的自由振动可以表示为这些主振动的叠加：,与此相应，可确定一系列主振型，即,其中各个C’n 与 由运动的初始条件确定§4-3 圆轴的扭转振动,,它的解为,由系统的边界条件和初始条件确定一般解为：,一维波动方程,式中四个待定常数,综上所述，弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的波动方程它们的运动具有共同的规律，如表4-1§4-4 梁的横向振动,。