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1、XT2.1 8. 分段函数y的导数,分析：,(1),(2),求导法则,单侧导数定义,XT2.1 8. 分段函数y的导数,分析：,(1),(2),求导法则,单侧导数定义,第一节 导数及其运算,2.1.1 导数的概念,2.1.2 导数的基本公式和运算法则,2.1.3 复合函数的导数,2.1.4 反函数和隐函数的导数,2.1.5 高阶导数的概念,2.1.6 由参数方程所确定的函数的导数,2.1.5 高阶导数的概念,一、高阶导数的定义,二、求高阶导数,(3),(1),(2),求 的二阶导数.,(5),二、求高阶导数,(1),解,1. 直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,(2),求 的二阶导数.
2、,解:,(3),(5),解,解:,二、求高阶导数,1. 直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,P115 LT 3,.,P116 LT4,2. n阶导数的运算法则:,莱布尼兹公式,练习.,解,常用高阶导数公式,利用已知的高阶导数公式, 通过四则,运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.,3. 间接法:,练习.,解：,4隐函数的高阶导数,解： 将方程两边对x求导,得,继续方程两边对x求导,得,高阶导数的定义,高阶导数求法举例,1.直接法,2. 高阶导数的运算法则,3.间接法,4隐函数、,2.1.5 高阶导数的概念,第一节 导数及其运算,2.1.1 导数的概念,2.1.2 导数的基本公式和运算
3、法则,2.1.3 复合函数的导数,2.1.4 反函数和隐函数的导数,2.1.5 高阶导数的概念,2.1.6 由参数方程所确定的函数的导数,设参数方程,2.1.6 由参数方程所确定的函数的导数,设,x = (t), y = (t)可导, (t) 0, 则,1. 参数方程求导法则,设,x = (t), y= (t)可导, (t) 0, 则,证明： 由已知条件，知x存在反函数 t = 1(x), x可导, 有,y = (t) 是x的复合函数,从而,故 y = (1(x),1. 求由参数方程,所确定的函数y = y(x)的导数,解:,0 2a,2. 求,解:,解,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系
4、,称为,相关变化率,相关变化率,P119LT3,解,(1),(2),仰角增加率,(3),相关变化率解法三步骤,找出相关变量的关系式,对t 求导,相关变化率,求出未知的相关变化率,相关变化率,之间的关系式,代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1),(2),(3),2.1.6 由参数方程方程所确定的函数的导数,1、参数方程求导法则,2、由极坐标方程所确定的函数求导,2、极坐标式求导,(1) 极坐标系,o,M,r,(2) 曲线的极坐标方程,如,半射线 ：极轴、极点,(3) 极坐标式求导,设曲线:,化为直角坐标下参数式为,则,则,从而,为径向沿逆时针方向转到切线位置的夹角.,P122 LT4 由极坐标
5、方程 r =1所确定的函数的导数dy/dx,P111 LT3 求方程 x2+y2 =1所确定的隐函数的导数,解,将曲线的极坐标方程转换成,则曲线的切线斜率为,所以法线斜率为,又切点为,故法线方程为,即,参数方程,第一节 导数及其运算,2.1.1 导数的概念,2.1.2 导数的基本公式和运算法则,2.1.3 复合函数的导数,2.1.4 反函数和隐函数的导数,2.1.5 高阶导数的概念,2.1.6 由参数方程所确定的函数的导数,XT2.1 21.（2, 6）,XT2.1 19.（1，3）求隐函数的二阶导数 20. （2）求n阶导数，书后答案有错。 21.（2,6）参数方程求导,f (x) 点x0,
6、f (x) 点x0 连续,点x0 导数,第二章 微分学,第一节 导数及其运算,第二节 微分,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题: 一般函数y=f (x)是否也有 y=f (x+x)-f (x)=Ax+o(x)?,A是什么? 如何求?,二、微分的定义,二、微分的定义,函数的微分：,(微分的实质),由定义知:,A是什么?如何求?,三、可微的条件,定理,证：,(1) 必要性,(2) 充分性,二、微分的定义,P132 LT3,解,四、微分的几何意义,二、微分的定义,一、问题的提出,三、可微的条件,第二节 微分,四、微分的几何意义,M,N,
7、）,五、微分的求法,: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1. 基本初等函数的微分公式,1. 基本初等函数的微分公式,1. 基本初等函数的微分公式,1,解：,2. 函数u(x)和v(x)和、差、积、商的微分法则,1. 基本初等函数的微分公式,例2,解:,五、微分的求法,四、微分的几何意义,二、微分的定义,一、问题的提出,三、可微的条件,六、微分形式的不变性,第二节 微分,六、微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,函数对自变量的微分=对中间变量的微分.,2,解,1,解,3,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,3,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,一
8、、 问题的提出,第二节 微分,二、 微分的定义,四、 微分的几何意义,三、 A定理,五、微分的求法,1. 微分公式,2. 微分四则运算法则,3. 复合函数的微分,六、一阶微分具有形式不变性,七、 高阶微分及求法,1 高阶微分的定义,不同的自变量x，产生了同一个增量 dx 后,函数值的变化情况?,函数,的一阶微分是:,其中,和,是两个独立的变量，,即视 dx 作常数, 这样 f (x)的微分dy 就是 x,的函数.,定义,若 可微时，称它的微分,为 y 的二阶微分，记为 . 当 可微时，,一般地，当 y 的 n-1 阶微分 可微时，,为 y 的三阶微分，记为,称它的微分,1高阶微分的定义,二阶和三阶以上的微分统称为高阶微分.,它的微分 为 y 的 n 阶微分，记为 .,2. y = f (x) 的各阶微分：,注意：,是自变量微分的平方,是函数,的微分，,应理解为函数x的二阶微分。,一般地，,即：,y = f (x) 的各阶微分：,例1,求 的二阶微分.,解:,所以,不能推广到中间变量的情况.,P139 XT2.2 1、2、3、4、 6、7、 8 14 、 5、10、,
