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1、 气温变暖研究中的数学问题 08071228 金珍耀 08071204 严莉萍 08073206 李 慧 2010 年 9 月 3 日 1 气温变暖研究中的数学问题 摘 要 本文对 1850 年2007 年全球的平均气温数据作图进行定性分析，发现气温在波动 中呈上升趋势并且气候变暖的趋势在加剧，气候变暖的危害日益突出。因此本文通过建 立模型对未来气温的变化趋势、 气候变暖的成因以及气候变暖的损失进行分析并提出预 防气候变暖政策的建议。 首先，我们要定量研究全球气温的变化趋势。我们建立 GM 模型，进行全球平均气 温的预测。由于 GM 模型主要针对中短期预测，且对平稳趋势的预测较为精准，又建立
2、了 ARMA 随机时间序列模型，应用 EVIEWS5.0 进行全球平均气温的预测，与实际数据 做折线图比较，并对残差序列进行白噪声检验。结果表明该模型拟合效果很好。由于 ARMA 模型适合短期预测，本文应用 ARMA(3,1,2)模型每次进行 10 年的预测，然后把 预测数据加入原序列中再进行 10 年的预测。 在该改进的基础上对全球未来 50 年的平均 气温进行预测。预测结果是未来 50 年全球气温是比较波动的，其中 20082014 年气温 的变化幅度最大，2014 年之后气温的波动逐渐平稳。然后我们建立 GMARMA 组合 模型，充分发挥两者优点，弥补缺点。 然后，我们先对数据进行标准化
3、，应用spss软件分别利用主成分分析法和最优逐步 回归模型对气候变暖成因其中四个因子（二氧化碳、太阳辐射强度、甲烷、一氧化儿氮） 对全球变暖的影响进行分析，结果显示二氧化碳的贡献最大，其次是太阳辐射强度，贡 献最小的是甲烷和一氧化儿氮。 进而，我们将经济学理论、经济现实与全球气候变化结合起来，基于经济上的 C-D 生产函数模型, 引进了气候因子，构建了一个新的“经济气候模型“，也称为“C-D-C 模型”，从交叉领域角度评价气候变化对粮食产量的影响。 基于以上几个模型的结论，我们认为国家采取减少二氧化碳排放量的措施是科学 的，但是还需对控制甲烷和一氧化儿氮的排放量做出措施，同时减少大气中二氧化碳
4、和 甲烷的浓度，才能更好的减缓全球变暖的趋势。 关键词：GM-ARMA 组合模型、主成分分析、最优逐步回归模型、Cobb-Douglas 生产 函数 2 一、 问题的重述与分析 1.1 问题的简述 气候变暖已是人们普遍关注的问题。在多种不利因素的影响下，气候变暖的趋势在 加剧， 它的危害或不利影响正在显现， 比如全球变暖的一个预期结果是地表空气将变干， 导致陆地开放水体生物的蒸发率上升，这种增加将导致一系列水循环的改变，这对于地 球的生态和整个生物生存条件都会引起变化；另外，如果地球的冰层过快的溶化，会引 起海平面的上升，这自然会引起地球上人类的生活环境变坏。本题意在从现有的地球气 温有关数据
5、出发，获取信息，进而获得气温变化规律，进而对气候变暖情况及可能的危 害进行定量的研究。 拟要求获得以下结果： 1建立数学模型，使用此模型预测气温的变化趋势。 2建立数学模型，使用此模型获取引起气温上升的主要原因。 3建立数学模型，使用此模型对气候变暖的损失进行定量估计。 4. 通过以上对气候变暖的定量研究，对于目前的一些预防气候变暖的对策进行评价， 并利用你的研究结果提出一些更为合理的对策。 1.2 1850-2007 年全球气温分析 通过对全球气温数据的搜索， 我们整理得到了 1850-2007 年来历年的全球年平均气 温值（原始数据见附录） ，用 MATLAB 作出 1850-2007 年
6、全球年平均气温变化趋势图，如 图 1-1 所示： 1840186018801900192019401960198020002020 13.4 13.6 13.8 14 14.2 14.4 14.6 14.8 图 1-1 1850-2007 年全球年平均气温变化趋势图 从图1-1中可以直观的看出，自1850年以来，全球的平均气温稳步波动上升。其中， 1850至1878年气温的波动比较平稳，19世纪80年代、20世纪初期和中期，气温波动性比 3 较大，而20世纪80年代后，气温增长的趋势十分明显。全球气温的变化直接或间接地影 响着地球上生物的生存环境，为了获得气温变化趋势进一步的信息，本文将建立以
7、下几 个模型，首先对全球气温的变化趋势进行预测，分析引起全球变暖的主要原因，并对其 造成的经济损失等不良影响进行定量估计，从而提出一些合理应对全球变暖问题的良 策。 二、 符号说明与问题假设 )( )( lx 0 ：第l时刻原始值； )( )( lx 0 ：第l时刻预测值； )( )( l 0 ：l时刻的残差； m：残差的最小值； p：回归部分阶数； q：滑动平均部分的阶数； ),(pi i 21：自回归系数； ),(qj j 21：滑动平均系数； ),( 2 0Nat：白噪声序列。 1) 所查到的原始数据基本准确; 2）只考虑太阳辐射程度、大气中二氧化碳、甲烷和一氧化二氮的浓度对气候变暖的影
8、 响，不考虑其它因素; 3）只考虑气候、播种面积，化肥使用量和地膜覆盖面积投入量对于粮食产量的影响， 不考虑其他生产要素; 4）所提政策建议基于的现有研究理论都是正确的; 三、 模型建立与求解 从图 1-1 可以看出， 全球年平均气温的时间序列为既含有确定性的动态趋势又含有 随机性波动的非平稳时间序列。对于平稳随机序列，自回归滑移平均 ARMA 是最熟悉 的统计学分析方法之一。而灰色系统理论 GM 则是一种动态趋势预测理论，本文首先将 这两者结合用于全球年平均气温预测。 2、GM 模型及其建模 2.1 GM（1,1）残差修正模型 动态趋势项的灰色系统预测主要是基于 GM 模型。GM 模型是一个
9、拟微分方程的动 态模型，它可以较好地描述系统内部特征和发展趋势，其外推预测性能优于统计回归方 程，而且也不要求样本数据有较大容量和满足一定统计分布。其中，使用最的的是 GM 4 （1,1）模型。 设有k个原始非负样本序列)(,),(),( )()()()( kxxxx 0000 21， 对序列)( )( kx 0 进行 一阶累加生成： k m mxkx 1 01 )()( )()( ，),(nk 21 (2-1) 由此得生成数列：)(,),(),()( )()()()( kxxxkx 1111 21。 据此建立关于)( )( kx 1 的一阶线性白化微分方程：uax dt dx )( )( 1
10、 1 。 利用最小二乘法求解参数ua,为： N TT YBBB u a a 1 )( ， 其中： 11 2 1 132 2 1 121 2 1 11 11 11 )()( )()( )()( )()( )()( )()( nxnx xx xx B 综上可得 )(1 x的灰色预测 GM（1,1）模型为： a u e a u xkx ak )()( )()( 11 01 ，nk,210 (2-2) 其实际预测值可由下式得出：)()()( )()()( kxkxkx 110 11，nk,210 (2-3) 通过分析上述模型的预测序列的残差值，如果发现该残差序列还具有一定的趋向 性，同样也可以对于残差
11、序列建立 GM（1,1）模型来预测残差值，从而对第一步中得 到的预测序列进行残差修正。 定义第l时刻原始值)( )( 1 0 x与预测值)( )( lx 0 之差，称为l时刻的残差，记为 )()()( )()()( lxlxl 000 。令mll)()( )()(00 ，Nl, 21，从而得到新的序列 )( )( l 0 ，式中m为残差的最小值。通过这样的处理，不论序列)( )( l 0 为何种形式， 恒友0 0 )( )( l， 且)( )( l 1 是递增的， 这是微分模型可以表达的。 然后对序列)( )( l 1 ， 建立 GM（1,1）建立对残差进行预测，最后得到离散响应函数为： a
12、b e a b lk ka )()( )( 101 ）（ ）（ ，Nk, 21 (2-4) 5 其实际预测值可由下式得出： ）（）（）（ ）（）（）（ kkk 110 11，nk, 21 (2-5) 在此基础上对原来的预测序列)( )( ix 0 进行修正： )()(),( )()()( ixiix 000 1，Ni，,21 mii）（ ）（ 00 )( )( ，Ni，,21 ),( )( 1 0 ix就是)( )( ix 0 经修正以后的预测序列。 2.2 基于 GM 模型的全球平均气温的预测 根据 GM 模型，本文利用 MATLAB 进行编程求解，已知全球年平均气温，利用 MATLAB 编
13、程可得全球平均气温趋势项的灰色系统的预测结果为： 2042478424781 44 10173513 1 10173513 2)()( t exetx）（ 对 1850 年-2007 年的全球平均气温进行预测，同时与真实值进行比较。如下图 2-1： 1840186018801900192019401960198020002020 13.4 13.6 13.8 14 14.2 14.4 14.6 14.8 GM预 测 与 实 际 值 对 比 时 间 直线为原始值，o为预测值 图 2-1 1850-2007 年全球平均气温的实际值与预测值的比较 其中，1879 年的预测值相对误差最小，为 0.01
14、%；1976 年的预测值相对误差最大， 为 3.62%；平均相对误差为 1.57%，精度良好。由以上分析可知，采取 18501878 年的 全球年均气温值作为样本数据预测得到 1879 年以后 127 年的数据，经检验精度良好。 我们继续对 19982007 年的预测数据进行误差分析，结果如下表 4-3-1 所示。发 现近 10 年的全球均温预测值的相对误差很小，最小相对误差为 2006 年和 2007 年的 6 0.05%， 最大相对误差为 1998 年的 1.27%， 平均相对误差为 0.45%， 此精度比前面 1879 2007 年的平均误差 1.57%更加理想。 表 2-1 19982
15、007 年全球均气温预测表 年份 实际值 GM(1,1)预测值 相对误差 1998 14.546 14.361037548 0.012715691709 1999 14.296 14.366426432 0.0071350621665 2000 14.27 14.371817337 0.0022062415531 2001 14.409 14.377210265 0.0056274047676 2002 14.464 14.382605217 0.0058728533227 2003 14.473 14.388002194 0.0037100300785 2004 14.447 14.393401195 0.0057449093375 2005 14.482 14.398802223 0.0012338595748 2006 14.422 14.404205277 0.00052842375389 2007 14.402 14.409610359 0.00052842375389 虽然选取的样本数据是 19 世纪中期开始的 30 年，年代久远，但在此样本数据基础 上对近代的全球均气温的
