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1、第二章 二元关系第一章 集合习题1.11. a) 0, 1, 2, 3, 4b) 11, 13, 17, 19c) 12, 24, 36, 48, 642. a) x | x N 且x 100b) Ev = x | x N 且2整除x Od = x | x N 且2不能整除x c) y | 存在x I 使得 y = 10 x 或 x | x/10 I 3. 极小化步骤省略a) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A ；若a, b A，则ab A 。或0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A ；若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
2、7, 8, 9，则aa A 。或0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A ；若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，则aa A 。b)0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A ；若a, b A 且 a 0，则 ab A 。c)若a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，则 a. A ；若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，则aa A ；若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，则aa A 。或0., 1., 2., 3., 4.
3、, 5., 6., 7., 8., 9. A ；若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，则aa A ；若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，则aa A 。d)0, 10 A ；若a A，则1a A ；若a, b A 且 a 0，则 ab A 。e)Ev定义如下：0 Ev 或0 Ev ；若a Ev，则a+2 Ev 。Od定义如下：1 Od 或1 Od ；若a Od，则a+2 Od 。f)0 A 或 0 A ；若a A，则 A 。4. A = G；C = F；B = E。5. 题号 是否正确 a) b)（空集不含任何元素）
4、c) d) e) f) g) h) 6. 题号 是否正确 a) （ 反例：A = a；B = ；C = a ） b)（ 反例：A = ；B = ；C = ） c)（ 反例：A = ；B = a；C = ） d)（ 反例：A = ；B = ；C = ）7. 能。例如：B = A A 。8.a) ；1；2；3；1, 2；1, 3；2, 3；1, 2, 3；b) ；1；2, 3；1, 2, 3；c) ；1, 2, 3；d) ；e) ；, ；f) ；1, 2；g) ；, 2；2；, 2, 2；9.a) ，a，b，a, b；b) ，1，1, ；c) ，x，y，z，x, y，x, z，y, z，x, y,
5、 z；d) ，a，a，, a，, a，a, a，, a, a。习题1.21.a) A B = 4；b) (A B) C = 1, 3, 5；c) (A B) = 2, 3, 4, 5；d) A B = 2, 3, 4, 5；e) (A B) C = ；f) A (B C) = 4；g) (A B) C = 5；h) (A B) (B C) = 1, 2。2.a) B C 或 B E ；b) A D ；c) (A B) C ；d) C B 或C A ；e) (A C) (E B) 或 (A E) (E B)；3.a) 证明：对于任意x A C，因为x A C，所以x A或x C。若x A，则由于
6、A B，因此x B；若x C，则由于C D，因此x D。所以，x B或x D，即x B D。所以，A C B D。类似可证A C B D。d)A (B C) = A (B C) = A ( B C) = (A A) ( B C)= (A B) (A C) = (A B) (A C)f)A (A B) = A (A B) = A (A B) = A ( A B)= (A A) (A B) = (A B) = A B4. a) ) 若A = B，则A B = A且 A B = A。因此，A B = (A B) (A B) = A A = 。)若A B = ，则A B = A B。又因为A B A
7、A B且A B B A B，所以A B = A = B = A B。所以A = B。5. 证明略。 a) b) c)（反例：A = a, b，B = a，C = b） d)（反例：A = a，B = a, b，C = a, c） e) f) （反例：A = a, b，B = a，C = b） g) （反例：A = a，B = a, b，C = a, c）6. a) B C A；b) A B C；c) A (B C)，即B C A；d) A B C；e) (A B) (A C) = (A B) (A C) = (A B) (A C) (A B) (A C) = (A B) (A C) (A B)
8、 (A C) =(A B) (A C) ( (A B) (A C) =(A B) (A C) ( ( A B) (A C) =(A (B C) ( A (B C) =(A (B C) (B C) =A ( (B C) (B C) ) =A (B C) 因此，若(A B) (A C) = A，则A (B C) = A。所以，A (B C)。f) 由上题，(A B) (A C) = A (B C) 因此，若(A B) (A C) = ，则A (B C) = 。g) A = B；h) A = B = ；i) A = B；j) B = ；k) B A 或 A B。7. a) 对于任意x (A) (B)
9、，则x (A) 或x (B)。若x (A)，则x A。因为A A B，所以，x A B。因此，x (A B)。若x (B)，则x B。因为B A B，所以，x A B。因此，x (A B)。所以，总有x (A B)。因此，(A) (B) (A B)。b) 对于任意x (A) (B)，则x (A) 且x (B)。x (A)，因此x A。x (B)，因此x B。所以，x A B。因此，x (A B)。所以，(A) (B) (A B)。8. a) = ， = ；b) , = ，, = ；c) a, b, a, b = a, b，a, b, a, b = 。9. 证明：i) 若x R0，则x R且x
10、1。所以对于任意iI+均有x 1+1/i。即对于任意iI+均有x Ri。所以，x。ii) 若x ，则对于任意iI+均有x Ri。所以对于任意iI+均有x 1+1/i。所以，x 1，故x。10.因为An+1 An，所以，。11.，。12.a) ；b) 。习题1.31. a)证明：用第一归纳法i) 当n = 1 时，左边 = 1/2 = 右边；ii) 对任意的k 1，假设当n = k时命题为真，即因为即当n = k+1时命题也为真。由i) ii)可知，对于任意n1均有。b)证明：用第一归纳法i) 当n = 1 时，左边 = 2 = 右边；ii) 对任意的k 1，假设当n = k时命题为真，即2+22+23+L+2k = 2k+1-2因为2+22+23+L+2k+ 2k+1= 2k+1-2+2k+1 =2k+2-2即当n = k+1时命题也为真。由i) ii)可知，对于任意n1均有2+22+23+L+2n = 2n+1-2。c)证明：用第一归纳法i) 当n = 0 时，左边 = 1 0 = 右边；当n = 1 时，左边 = 2 2 = 右边；ii) 对任意的k 1，假设当n = k时命题为真，即2k 2k因为2k+1= 22k 22k 2k+2 =2(k+1) （因为k 1）即当n = k+1时命题也为真。
