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1、 WORD资料可编辑 第1章 函数的极限与连续极限是现代数学的最基本的概念，是学习微积分学的重要基础.在后面的几章学习中可以看到，微积分中的重要概念都是通过极限来定义的.本章将介绍极限的概念、性质及运算法则，在此基础上建立函数连续的概念，并讨论连续函数的性质1.1 初等函数1.1.1 函数1函数的定义设是一个数集，如果对属于中的每一个数，依照某个对应关系，都有确定的数值和它对应，那么就叫做定义在数集上的的函数，记作叫做函数的自变量，数集叫做函数的定义域函数的取值范围叫做函数的值域.由定义可知，对应关系和定义域构成函数的二要素.2函数的定义域在实际问题中，根据所考察问题的实际意义来确定其定义域对
2、于不具有实际意义的抽象函数，其定义域是使得函数有意义的全体自变量的集合常见的有:(1) 在分式函数中，分母不能为零；(2) 在根式函数中，负数不能开偶次方；(3) 在对数函数中，真数大于零；(4) 在三角函数和反三角函数中，要符合它们的定义域；(5) 在含有多种式子的函数中，应取各部分定义域的交集.例1 求下列函数的定义域：（1）；（2）3反函数在研究函数的同时，有时函数和自变量的地位会相互转换，于是就出现了反函数的概念例如，在函数中，定义域和值域都是，按照和的对应关系，任意给出一个，都有唯一确定的与之对应一般地，设函数，定义域为，值域为如果对于中的每一个值，都可由确定唯一的值与之对应，这样就
3、确定一个以为自变量的函数，该函数称为函数的反函数，记作显然，函数的定义域为，值域为习惯上常用表示自变量，表示函数，故常把的反函数记为若把函数与其反函数的图形画在同一个平面直角坐标系内，则这两个图形关于直线对称因此，函数是函数的反函数，其定义域为，值域为将函数改为，自变量改为，则函数的反函数为（图11）图11例2 求的反函数4分段函数在自然科学及工程技术中，用公式表示函数时，经常会遇到一个函数在不同的范围内用不同的式子表示的情况.如函数是定义在区间内的一个函数.当时，；当时，.在不同的区间内用不同的式子来表示的函数叫分段函数.分段函数是用几个解析式子来表示的一个函数，而不是表示几个函数.求分段函
4、数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中进行计算.如在上面的分段函数中，；.5函数的几种特性（1）奇偶性如果函数的定义域关于原点对称，且对于任意的，都有，那么叫做奇函数；如果函数的定义域关于原点对称，且对于任意的，都有，那么叫做偶函数；如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称为非奇非偶函数.如是奇函数，是偶函数.奇函数的图象关于原点对称(如图12)；偶函数的图象关于轴对称(如图13). 图12 图13例3 判断下列函数的奇偶性(1) ；(2) ；(3) .（2）单调性如果函数在区间内随着的增大而增大，即对于内任意两点与，当时，有，那么称函数在区间内是单调增加的，区间叫做函数的单调增加区间
5、如果函数在区间内随着的增大而减小，即对于内任意两点与，当时，有，那么称函数在区间内是单调减少的，区间叫做函数的单调减少区间.显然，单调增加函数的图象沿轴正向是逐渐上升的；单调减少函数的图象是沿轴正向是逐渐下降的.如图14为单调增加函数，图15为单调减少函数. 图14 图15在整个区间上单调增加（减少）的函数，称为这区间上的单调增（减）函数，这个区间称为这个函数的单调区间.例如，指数函数在其定义域内是单调增加的而幂函数在内是单调增加的，在内是单调减少的，所以在内不是单调函数.例4 判断函数的单调性.（3）周期性对于函数，如果存在一个非零常数，使得对于其定义域内的每一个，都有成立，则称是周期函数，
6、称为其周期.显然，如果是的周期，则（是整数）均为其周期一般提到的周期均指最小正周期.我们常见的三角函数都是以为周期；都是以为周期.（4）有界性设函数在区间内有定义，如果存在一个正数，使得对于任意，恒有，那么称在内有界；如果不存在这样的数，那么称在内无界.例如，函数，存在正数，使得对于任意的，均有,所以函数在其定义域内是有界的1.1.2 基本初等函数我们学过的幂函数 (为实数）、指数函数 且、对数函数 且、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.1幂函数（为实数）(1) 当时，函数经过两定点和，图象在第象限内单调增加且无界（如图16（1）.(2) 当时，函数经过定点，图象在第象限内单调减少且无界
7、（如图16（2）. （1） （2）图162指数函数且它的定义域为，值域为，图象经过定点(1) 当时，函数单调减少且无界（如图17（1）(2) 当时，函数单调增加且无界(如图17（2） （1） （2）图173对数函数且它的定义域为，值域为，图象经过定点(1) 当时，函数单调递减且无界(如图18(1)；(2) 当时，函数单调递增且无界(如图18(2) (1) (2)图18 4三角函数(1) 正弦函数定义域为，值域为，奇函数，周期为的周期函数，有界（如图19）图19(2) 余弦函数定义域为，值域为，偶函数，周期为的周期函数，有界（如图110）.图110(3) 正切函数定义域为，值域为，奇函数，周期为
8、的周期函数，无界（如图111） 图111 图112(4) 余切函数定义域为，值域为，奇函数，周期为的周期函数，无界（如图112）5反三角函数（1）反正弦函数定义域为，值域为，奇函数，单调增加，有界（图1-13）.（2）反余弦函数，定义域为，值域为，非奇非偶函数，单调减少，有界（图1-14）.（3）反正切函数定义域为，值域为，奇函数，单调增加，且有界（图1-15）.（4）反余切函数定义域为，值域为，非奇非偶函数，单调减少，有界（图1-16）. 图1-13 图1-14 图1-15 图1-161.1.3 复合函数、初等函数1复合函数在同一问题中，两个变量的联系有时不是直接的，而是通过另一变量间接联系
9、起来的.例如：某汽车每公里油耗为公升，行驶速度为公里/小时.汽车行驶的里程是其行驶时间的函数：，而汽车的油耗量又是其行驶里程的函数：于是，汽车的油耗量与汽车行驶时间之间就建立了函数关系：.这时我们称函数是由与复合而成的复合函数.一般地，设是的函数，是的函数，如果值域与定义域的交集非空，则通过中间变量成为的函数，我们称为的复合函数.记作.其中称为中间变量.例5 指出下列函数的复合过程和定义域：(1) ；(2) .例6 已知，将表示成的复合函数.2初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限复合运算构成的，并且能用一个解析表示的函数称为初等函数.例如：，等都是初等函数.1.1.4 建立函数关系举
10、例为了解决应用问题，先要给问题建立数学模型，即建立函数关系为此需要明确问题中有因变量与自变量，再根据题意建立等式，从而得出函数关系，再确定函数的定义域应用问题的定义域，除使函数的解析式有意义外，还要考虑变量在实际问题中的含义.下面就一些简单实际问题，说明建立函数关系的过程.例7 某市场对西红柿的批发价格如下规定：批发量在千克以下为元/千克；批发量在千克以下超过千克的部分为元/千克；批发量超过千克的部分为元/千克设批发量为千克，总费用为元，试建立与的函数关系.例8 一物体作直线运动，已知所受阻力的大小与其运动速度成正比，方向相反设物体的速度为米/秒时，所受阻力为牛顿，试建立与的函数关系.例9 公
11、共电话收费问题.在公共电话亭打市内电话，每收费元，不足按收费，求电话收费与用时的函数关系.1.2 函数的极限1.2.1 数列的极限数列（整标函数）可以看作是按自然数顺序列出的一串函数值：.现在来考察当自变量无限增大时，数列的变化趋势.试看下面几个下例子：(1) ，即，；(2) ，即，；(3) ，即，；(4) ，即，.通过仔细观察可以发现，当时，这几个数列的变化情况是大不相同的数列(1)随着的无限增大，无限接近常数；数列(2)随着的无限增大，无限接近常数；数列(3)、(4)随着的无限增大，都不能无限接近于某一个确定的常数，当时，数列的值也无限增大，数列的值在与两个数上来回跳动.为清楚起见，我们把
12、表示(1)、(2)这两个数列的点分别在数轴上描出一些(图118,119).图118图119可以看出，当无限增大时，数列在数轴上的对应点逐渐密集在右侧，即数列无限趋近于；数列在数轴上的对应点逐渐密集在附近，即数列无限趋近于总之，当无限增大时，数列(1)、(2)都趋近于一个常数，这种数列称其为有极限；当无限增大时，数列(3)、(4)都不趋近于一个常数，这种数列称为无极限一般地，有下面定义定义1.1 设数列，如果当无限增大时，无限趋近于一个确定的常数，则称当趋于无穷大时，数列以为极限，记作或此时，也称数列是收敛的；如果数列没有极限，就称其为发散的因此，当时，的极限是，可记作；的极限是，可记作；而数列和没有极限，没有极限的数列，也说数列的极限不存在例1 观察下面数列的变化趋势，写出它们的极限：（1）；（2）；（3）；（4）.一般地，任何一个常数数列的极限就是这个常数本身，即（为常数）.例2（无穷递缩等比数列的求和公式）设数列其中首项，公比，求其所有项的和1.2.2 函数的极限1当时,函数的极限例3 考察当时,函数的变化趋势定义1.2 如果当的绝
