第3章概率与概率分布

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1、第3章 概率与概率分布,3.1 概率基础 3.2 随机变量及其分布 3.3 大数定律与中心极限定理,joke 曾经有一个学统计的学生，他开车的时候，总是在十字路口加速，呼啸而过，然后再减速。一天，他带着一个旅客，那个旅客被他的驾驶方式弄得心惊胆战，问为什么要这么开车。那个学生回答，“是这样的，从统计学角度讲，十字路口是事故高发段，所以我要尽可能的少花时间。”,引例1：巧合与小概率事件 惊人的巧合 1990年，澳大利亚男子托得在球场中观看澳大利亚鲁尔斯足球赛决赛时，一名激动的观众将一本邮局印刷的电话号码簿撕成碎纸，并将碎纸漫天洒向空中。其中一张碎片飘到了托得的膝盖上，他捡起来一看，发现这张碎纸上

2、写着他的名字、地址和电话号码,引例2：概率如何得到？ 硬币 婴儿性别 新生儿男女性别比率为104107100， 并且这一比率无论在哪种社会形态或哪个历史时期均相当普遍。据报道， 这一出生性别比率有时候会高达110100， 抑或更高， 例如在中国农村的某些地区。,引例3：概率与预测 从可预测的概率中获益 1873年， 一个名叫约瑟夫 贾格斯的英国工程师赢了一笔巨款。他的助手提前一天到赌场， 记录下当天出现的所有数字。贾格斯仔细研究这些数字， 发现六台轮盘赌机中有五个运作都非常正常， 但第六台上却有九个数字被选中的几率远远高出一般概率。第二天贾格斯来到赌场， 在那台赌机上专押这九个数字。到第四天结

3、束时， 他已经赢了30万美元,1913年8月18日，双数连续出现了26次。考虑到轮盘每一次旋转可能出现的37个数字中有18个双数， 某一双数在一轮中出现的概率就是1837或.486（单数同此）。连续出现 次双数的概率为18371837 1837， 连乘26次， 结果是0.000000007， 约等于1142857000,预测系统 达伦花费了大部分的时间去说服观众，他真的有一个“系统”能够预测随机事件的结果 直到最后时刻，他才告诉那位黑人女性和电视观众“系统”的真正秘密：其实收到电子邮件的不是一个人，而是7776个人。赛马每场有五匹马，达伦将这些人分为五组，分别给出不同的预测结果，那么必然会有一

4、组人获得正确结果在接下来一场里，达伦再将这一组分为五组如此做下来 始终获得正确结果的人之所以会相信“系统”的存在，是因为你只看到了整个故事中的一个片段,思考：下面的例子是三组硬币连续投掷6次的出现的形态，如果让你押注你会选择那一组？ 正反正反反正 正正正反反反 正反正反正反,引例4：概率与计算 已知总体是一所城镇初中二年级的学生，他们的智商平均为100。现在为了研究学生们的教育成就，就从其中随机抽取了50位学生，测试第一位学生其智商为150。你认为这50位学生的智商平均应为多少？ 假如这些样本是随机抽出的，则对另外49个学生其智商的平均数最佳的估计值应为100。因此整个样本的智商平均数的正确值

5、应为101，其计算的方式是？,引例5：概率的误判之一 Linda，31岁，单身，坦率，非常聪明，主修哲学，学生时代对于公平或者歧视之类的议题十分关切。Linda可能符合下面哪一情况？ 银行行员 银行行员，而且在女权运动上非常活跃,引例5：概率的误判 如果有一种病，0.1%发病率，一旦发生了就不可救药。但是如果提前知道，可以进行代价不小但是相对于死亡来说还可接受的防治，比如说从此不许吃肉，或者天天吃二两黄连，再或者切掉一条腿 在医学上有一种检测方法，可以进行早期诊断。当然就像别的检测方法一样，它总有一定的出错概率。这个方法能够做到的是：如果你有病，那么检测结果99%会是阳性；如果你没病，那么有1

6、%的可能性结果会呈阳性,如果诊断呈阳性，你怎么看？ 对于一个100万人口的人群进行这个疾病的普查。发病率0.1%，大致有1000人得病，99%的阳性率，所以约有990个阳性结果。没病的99.9万人中，1%会被误诊为阳性（所谓的假阳性），共有9990个阳性结果。所有检测下来，共有10980个阳性结果，其中只有990人是真正有病的，比例是9%！,引例8-概率判断中的心理因素 问题1：美国即将爆发不寻常的亚洲疾病，预计会造成600人死亡。现有两项解决方案被提出以治疗该疾病，假若科学家估计两项方案之结果如下： 采用方案A，将有200人获救。 采用方案B，将有1/3的机会救活600人，但有2/3的机会没

7、有人存活 调查结果：72%的受访者选择方案A，28%的受访者选择方案B 问题2：承问题1，另有方案C与方案D。 方案C若被采纳，将有400人会死亡。 方案D若被采纳，有1/3的机率无人死亡，2/3的机率将有600人会死亡。 调查结果：22%的受访者选择方案C，78%的受访者选择方案D,问题3：你会接受10%机会赢得$95，95%机会损失$5的赌局吗? 大部分受访者选择不会。 问题4：你会付$5买一张彩券，该彩券有10%机会赢得$100，95%机会什么都没有吗? 大部分受访者选择会,问题5：Consider the following choice put to N = 66 people: A

8、 : R6000 at .45 chance EV = 2700 (14% chose) B : R3000 at .90 chance EV = 2700 (86% chose) 问题6： Now consider the following problem put to N = 66 people A : R6000 at .001 chance EV = 6 (73% chose) B : R3000 at .002 chance EV = 6 (27% chose),1. Discontinuity (Certainty Effect),Stated Probability: p,De

9、cision Weight: (p),2. Underwighting Intermediate probabilities,3. Overweighting Very small probabilities,1.0,.5,.5,1.0,概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的 数学分支学科 概率(或然率或几率) 随机事件出现的可能性的量度 其起源与博弈问题有关,起源：L.Pacioli(1455?1510) 得分问题G.Cardano(15011576) 赌博者手册 形成：P.D.Feramt(16011605) B.Pascal(16231662)提出“概率”这一概念 排列组合、集合论

10、C.Huygens(16291695) 骰子赌博的理论,发展：J.Bernoulli(16541705) 推断法“大数法则”； de Moivre(16671754) 偶然论 成熟：Laplace(17491827) 解析概率论连续微积分 Gauss(17771855) 正态分布,生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在实质 上只是概率的问题。 拉普拉斯(Laplace) 概率论是生活真正的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行, 无所作为。 杰文斯,3.1 概率基础,随机事件,确定现象与随机现象 确定性现象 Certainty phenomena 在101325a的大气压下，

11、将纯净水加热到 100时必然沸腾 垂直上抛一重物，该重物会垂直下落,随机现象 Random phenomena 每次试验前不能预言出现什么结果 每次试验后出现的结果不止一个 在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现 的结果有一定的规律性 称之为统计规律性 掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点 抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上两种不同的结果,基本术语 对某事物特征进行观察，统称试验。若它有如下特点，则称为随机试验，用E表示 可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果 试验前不能预知出现哪种结果,样本点 Sample Point随机试验中的每一个可能出现的试

12、验结果称为这个试验的一个 样本点 ，记作 样本空间 Sample Space全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作即 = 基本事件仅含一个样本点的随机事件称为基本事件，含有多个样本点的随机事件称为复合事件,在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(random Events )，简称事件（Events) 随机事件通常用大写英文字母、等表示 在随机试验中，随机事件一般是由若干个基本事件组成的,样本空间的任一子集A称为随机事件,随机事件特例 必然事件Certainty Events 样本空间也是其自身的一个子集 也是一个“随机”事件 每次试验

13、中必定有中的一个样本点出现必然发生,不可能事件Impossible Event 空集也是样本空间的一个子集 也是一个特殊的“随机”事件 不包含任何样本点 不可能发生,例解 随机试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数 试验的样本点和基本事件 （1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），.，（6，1），（6，2），.，（6，6,随机事件 A=“点数之和等于3” =（1，2），（2，1） B=“点数之和大于11” =6，6 C=“点数之和不小于2” = D=“点数之和大于12” = ,A,文氏图 ( Venn diagram ),事件的包含, A 包含于B,事件 A 发生必

14、导致事件 B 发生,A,B,事件的相等,且,事件的并（和）,事件 A与事件B 至 少有一个发生,发生,的和事件 ,的和事件 ,事件的交（积）,事件 A与事件B 同时发生,的和事件 ,的和事件 ,发生,事件的差, A 与B 的差事件,事件的互斥（互不相容）, A 与B 互斥,A、 B不可能同时发生,两两互斥,两两互斥,事件的逆（对立）, A 与B 互相对立,每次试验 A、 B中有且只有一个发生,A,称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为,注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念,完备事件组,随机事件运算律 吸收律 重余律 幂等律 差化积,交换律 结合律 分配律 摩根律,

15、运算顺序：逆效并差，括号优先,B,C,A,C,分配律 图 示,事件的概率,事件的概率 以数值来表示事件将发生的可能性Level P(Event) P(A) Prob(A) 概率值必定在 0, 1 样本空间点的概率总和为1,1,.5,0,必然发生Certain,不会发生Impossible,概率的古典定义等可能概型 设 随机试验E 具有下列特点，则称 E 为 古典(等可能)概型 基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生 古典概型中概率的计算： 记 则,例解：袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球（ ),求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率 不放回情形,因此,超几何分布,放回情形,二项分布,概率的统计定义频率定义 当一试验在完全相同的情境中重复试验，某事件A发生的概率可以定义为：当试验在相同情境下重复无限次时，A所发生的次数与试验总次数之比 由于这种概率为长期试验的结果，因此又称之为后天概率率、相对次数。由于这种概率为归纳多次试验的结果所得，故又称为统计概率或经验概率,蒲丰( Buffon )投币 投一枚硬币观察正面向上的次数 n = 4040, nH =2048,