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1、第二章 平面图形的几何性质,拉压正应力,扭转切应力,弯曲正应力,应力的计算通常用要到构件截面的几何参数，例如：,实质 1、数学，不是力学 2、颠倒了学科发展顺序 （历史是：弯曲内力弯曲应力惯性矩） 目的 1、清除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩) 2、从更高的观点，统一截面几何性质 3、便于学习（弊病：只有大厦，无脚手架）,2.1形心和面矩,平面图形的形心,在理论力学中，用合力矩定理建立了物体重心的坐标计算公式。,若为均质等厚度薄板，其面积为A、厚度为t、体积密度为，则微块的重力,整个薄板的重量为,平面图形的形心坐标公式,形心是平面图形的几何中心,具有对称中心、对称轴的薄板的形心必然在对称中心或对
2、称轴上。,重心是物体重力的中心,其位置取决于薄板的截面形状和大小。,其位置决定于物体重力的分布情况,只有均质物体的重心才与形心重合。,整个平面图形对x 轴和y 轴的面矩（静矩）,单位:米3（m3）或毫米3(mm3）。,同一平面图形对不同的坐标轴，其面矩不同。,面矩是代数值，可正可负可为零。,平面图形的形心坐标公式可写为,可得平面图形的面矩公式为,图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；,平面图形对某轴的面矩等于其面积与形心坐标的乘积。,某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零。,一般，构件截面是由矩形、圆形等简单图形组成的组合图形。,式中：xci、yci分别表示各简单图形的形心坐标； A
3、i表示各简单图形的面积； n表示组成组合图形的简单图形的个数。,根据图形面矩的定义,组合图形对某轴的面矩等于各简单图形对同一轴面矩的代数和。,即,组合图形形心坐标计算公式,例2-1试计算图示平面图形形心的坐标。,解一:由于对称关系，形心C必在y轴上,yc,解二:由于对称关系，形心C必在y轴上。,故 xC=0,yc,将此图形分为I、II、III三部分,以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则,附例 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。,解：过圆心O作与x轴垂直的y轴,所以,在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条,2-2 惯性矩和惯性半径
4、,一、惯性矩,平面图形对x轴和y轴的惯性矩,平面图形对坐标原点的极惯性矩,惯性矩与极惯性矩恒为正值，单位为米4（m4）或毫米4（mm4）,惯性矩与极惯性矩的关系,平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。,惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4；,若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；,惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩,如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面体对x、y、原点的转动惯量。,二、惯性半径,对x 轴和y 轴的惯性半径,三、简单图形的惯性矩,由于圆形对任意直径轴都是对称的，故
5、Ix=Iy，注意到I=Ix+Iy，得到,例2-2 求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩I。,解：首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环，其面积dA=2prdr，则,惯性半径,圆环形的惯性矩为,解：平行x轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，则,例2-3 求图示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy。,C,同理可得,如何增大截面惯性矩?,趣味问题,村边小溪, 木桥已断, 现有三板，尺寸相同，怎样搭桥，安全可靠?,第一个方法：把它们摞起来,第二个方法：把这三块板牢固的粘在一起,实验现象分析,单平板的惯性矩,方案一：三板叠放
6、 三板三心,三块板叠放时，力由三块板承担，每块板只承受三分之一，所以挠度就变成了单板挠度的1/3,方案二：三板粘合 三板一心,三板组合，粘好粘紧，形成一块整板，它就变成了一个截面。,就相当于是一个宽为b，高为3h的板。,此时的惯性矩是,它等于单板惯性矩的27倍，等于三板叠放惯性矩的9倍。,它的挠度也变成了单板挠度的1/27，是三块板叠合时候的1/9。,三板叠放，每块板都是绕它自己的形心轴发生转动，叫三板三心。,三块粘合，形成一块整板，三块板绕共同的一个形心轴转动，它就是三板一心,团结就是力量,思考：还有没有更好的办法？,26,27,同样三块板，由于做成的横截面形状不一样，抵抗弯曲的能力，相差巨
7、大。,这个就是惯性矩起的作用,工字钢有两种放置形式,29,型钢弯曲试验,方案三：工字型,方案四：槽型,判断截面惯性矩大小的方法：,横截面的面积，离形心轴越远，它的惯性矩就越大。,工字钢竖放，截面的面积离中性轴最远，工字钢横放，截面的面积离中性轴最近。,31,工字钢、槽钢截面惯性矩的比较,截面面积离中性轴（对称图形即形心轴）越远，截面的惯性矩越大。,32,现代工程大跨度结构中的双T字混凝土板,33,34,35,竹子为什么是空心的？,因为空心圆的惯性矩大,常用竹子或空心圆管做脚手架。,再看建筑结构承载的大梁,工字钢竖放的形式,中国古代建筑的方梁，要从圆木中裁出来,怎么裁出来才使它的强度和刚度都好呢
8、？,W抗弯截面系数要大 I 截面惯性矩也要大,40,李诫 （10351110）,宋代人，主管皇家建造。字明仲，郑州管城县（今河南新郑）人。中国古代建筑家、营造法式编纂者。,41,营造法式,编于熙宁年间（1068-1077），成书于元符三年（1100），刊行于宋崇宁二年（1103），是李诫在两浙工匠喻皓的木经的基础上编成的。是北宋官方颁布的一部建筑设计、施工的规范书，这是我国古代最完整的建筑技术书籍，标志着中国古代建筑已经发展到了较高阶段。,这本书影响中国建筑几百年，近千年,从北宋以后的元明清，所有从事建筑工程的，基本都是靠这个营造法式,成为一个建筑设计、施工的规范,它对圆木裁方给出了一个数据，
9、圆木裁方高与宽之比应该是3:2,43,44,1.5恰好在这两个数字之间，它兼顾两者，非常科学,46,金玉其表 败絮其中,47,强板其表 弱板其中,四、惯性积：,定义为图形对x、y轴的惯性积,由于坐标乘积xy可能为正或负，因此，Ixy的数值可能为正也可能为负或为零。,当整个图形位于第一象限时，所有微面积dA的坐标y、z均为正值，所以图形对这两个坐标轴的惯性积必为正值。,当整个图形位于第二象限时,当坐标轴y、z中有一个是图形的对称轴时,所有微面积dA的坐标z均为正值，而y坐标为负,所以图形对这两个坐标轴的惯性积必为负值。,如图z轴，z轴两侧微面积dA的z坐标相同,y坐标数值相等符号相反，所以图形对
10、这个坐标系的惯性积为零。,2-3 组合图形的惯性矩,一、平行移轴公式,已知： 、 、 ，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)， 求Ix、Iy、Ixy,二、组合图形惯性矩的计算,例 2-4 试计算图示的组合图形对形心轴的惯性矩,解（1）计算形心C 的位置,设形心C 到X的距离为yc,因为图形有纵向对称轴，所以形心必在此轴上,将图形分成、两部分，它们对x轴的面矩分别为,整个图形对x轴的面矩为,整个图形的面积,解：（1）计算形心C 的位置,16号槽钢,16号工字钢,形心,当互相垂直的两根形心轴有一根是图形的对称轴时，则图形对该对形心轴的惯性矩一为极大值，另一为极小值。,在图形平面内，通过形心可以作无
11、数根形心轴，图形对各轴惯性矩的数值各不相同。,可以证明，其中必然有一极大值与极小值,具有极大值惯性矩的形心轴与具有极小值惯性矩的形心轴互相垂直,如上例中对轴 的惯性矩为极大值，对轴 的惯性矩为极小值。,例2-6 求T形截面对形心轴的惯性矩,先求形心的位置：,取参考坐标系如图，则：,再求截面对形心轴的惯性矩：,由平行移轴定理得：,例2-7 已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。,解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式。,需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：,2-4 转轴公式和主惯
12、性轴,平面图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积为,下面导出图形对y1、z1轴的惯性矩及惯性积,一、惯性矩和惯性积的转轴公式,得到,同理，利用,利用三角变换，得到,x,转轴公式：,注意：是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的为正。,形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩；,二、主惯性轴、主惯性矩,1.主轴的相关概念：,主轴(主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴；,形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴,由上式可求出相差90o的a0，a0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0；,求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值
13、，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。,2.主轴方位：,利用主轴的定义惯性积等于零进行求解；,主轴与x轴的夹角:,与主轴方位的对应关系：求a0时只取主值|2a0|p/2)，若IxIy，则由x轴转过a0到达x0轴时，有 ；若IxIy，则 。注意，a0为正值时应逆时针旋转。,任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。,3.主惯性矩大小：,例2-8 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩,图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标系xCy如图,将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图,整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为,例2-9 求图示正方形对过形心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。,解：由于：,则,同理,
