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1、 完美WORD格式 专题三： 排列、组合及二项式定理一、排列、组合与二项式定理【基础知识】1.分类计数原理（加法原理）.2.分步计数原理（乘法原理）.3.排列数公式 =.(n，mN*，且mn)4.组合数公式 =(n，mN*，且mn).5.组合数的两个性质：(1) = ;(2) +=（3）.6.排列数与组合数的关系是： .7.二项式定理： ;二项展开式的通项公式：.【题例分析】例1、从6名短跑运动员中选4人参加4100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有2（）种；（3）甲、乙二人均
2、参加，有（2）种，故共有252种点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生(2)某女生一定要担任语文科代表(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表解：(1)先取后排,有种,后排有种,共有5400种(2)除去该女生后先取后排：种(3)先取后排,但先安排该男生：种(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种,再安排该男生有种,其余3人全排有种,共=360种例3、有6本不同
3、的书（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？解：（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有（种）。（2）6本书平均分成3堆，用上述方法重复了倍，故共有（种）。（3）从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆
4、，共有（种）（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有（种）。（5）平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有（种）。（6）本题即为6本书放在6个位置上，共有（种）。例4、如果在 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。解：展开式中前三项的系数分别为1， ， 由题意得：2=1+得=8。设第r+1项为有理项，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。有理项为。【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.1、设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中xk的系数不可能是 A 10 B 40 C 50 D
5、80. 2、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有 A 3种 B 4种 C 5种 D 6种.二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、将标号为1，2，10的10个球放入标号为1，2，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答）4、设则 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数
6、不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？6、若=，求（1）的值。（2）的值。二、等可能事件的概率【基础知识】等可能性事件的概率.【题例分析】例1、 某班有学生36人，血型分别为A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率.解:P(两人血型相同)P(两人血型均为A型)P(两人血型均为B型)P(两人血型均为AB型)P(两人血型均为O型).所以，P(两人血型不同)1.点拨:从四种血型中抽出2种有C246种，依次分类则情形较复杂，所以本题用间接法较简便.例2、从男、女学生共有36名的班级中,任意选出两名委员,任何人都有同样的机会当选,如果选得同性委员的概率
7、等于，求男、女相差几名？解：设男生有x名，则女生有36x名，选得2名委员都是男性的概率为.选得两名委员都是女性的概率为.以上两种选法是互斥的，所以选得两名委员是同性委员的概率等于其概率和.依题意.解得x15或x21.即该班男生有15名，女生有361521人或者男生有21人，女生有362115人，总之，男女相差6名.例3、在袋中装30个小球，其中彩球有n个红色，5个蓝色,10个黄色，其余为白色，求：(1)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球不相邻的排法有多少种？(2)如果从袋中取出3个都是颜色相同的彩球（不含白色）的概率是，且n2，计算红球有几
8、个？(3)根据(2)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个红球的概率？解：(1)将5个黄球排成一排共有A55种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空位上，有A36种排法.所求的排法为A55A3614400（种）.（2）取3个球的种数为C3304060，设“3个球全是红色”为事件A，“3个球全是蓝色”为事件B.“3个球都是黄色”为事件C，则P(B)，P(C).A、B、C彼此互斥，P(ABC)P(A)P(B)P(C)，即P(A).P(A)0，即取3个球，是红球的个数小于或等于2.又n2，故n2.（3）记“3个球至少有一个是红球”为事件D，则为“3个球中没有红球”，则P(D)1P()1.例4、
9、一种电器控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试. （1）求前两次取出都是二等品的概率； （2）求第二次取出的是二等品的概率； 解：（1）四件产品逐一取出方式共有A种不同方式.前两次取出都是二等品的方式共有AA种不同方式.所以前两次取出都是二等品的概率为：（2）第二次取出是二等品共有：，所以第二次取出是二等品的概率是：【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.1、数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其
10、各位数字之和等于9的概率为（ ）2、将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 (A) (B) (C) (D)二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 . 4、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是_三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、8支球队中有3支弱队，以
11、抽签的方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求： (1)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；(2)A组中至少有两支弱队的概率6、有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地锯成了1000个小正方体,将这些正方体混合后，放入一个口袋内.(1)从该袋中任抽取一个正方体，恰有两个面涂有红色的概率是多少?(2)从袋中任取两个正方体，其中至少有一个面上有红色的概率是多少?三、互斥事件的概率【基础知识】1、 (1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.2.重点公式(1)如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A、B中有一个发生）的概率，
12、等于事件A、B分别发生的概率和，即P（A+B）=P（A）+P（B），推广:P（A1+A2+An）=P（A1）+P（A2）+P（An）.(2)对立事件的概率和等于1.P(P)+P()=P（A+）=1.【题例分析】例1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人各抽一题：（1）求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）求甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率.解：（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有CC个，又甲、乙依次抽到一题的可能结果有CC个，所以，所求概率为：=.（2）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概
13、率为:1-=1-=1-=.例2、某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29.计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.解：设这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A，命中10环、9环、8环以及不够8环的事件分别记为A1、A2、A3、A4.A2、A3、A4彼此互斥，P（A2+A3+A4）=P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.28+0.19+0.29=0.76.又A1=，P(A1)=1-P（A2+A3+A4）=1-0.76=0.24.A1与A2互斥，P（A）P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=0.24+0.280.52.故这个
14、射手在一次射击中命中10环或9环的概率为0.52.例3、袋中放有3个伍分硬币，3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个，求总值超过8分的概率.解：记“总值超过8分”为事件A，它应有四种情况：（1）“取到3个伍分硬币”为事件A1；（2）“取到2个伍分和一个贰分硬币”为事件A2；（3）“取到2个伍分和一个壹分硬币”为事件A3；（4）“取到一个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件A4.则P(A1)=.P(A2)=.P(A3)=. P(A4)=.依题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，P(A)=P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=例4、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：排队人数0561011151620212525人以上概 率0.10.150.250.250.20.05（I）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（
