《特征值和特征向量、矩阵的相似对角化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《特征值和特征向量、矩阵的相似对角化（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 特征值和特征向量、 矩阵的相似对角化,一 特征值与特征向量的概念,二 特征值和特征向量的求法,第一节 特征值与特征向量,三 特征值和特征向量的性质,一、特征值与特征向量的概念,定义,若,则称为的特征值，,称为的特征向量,（）,注, 并不一定唯一；, 阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组, 特征向量 ，特征值问题只针对方阵；,有非零解的值，即满足,的都是方阵的特征值, 一个特征向量只能属于一个特征值；, 一个特征值有无穷个特征向量；,若,，则,二、特征值与特征向量的求法,注：n阶方阵A的特征多项式为 的n次多项式， n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.,例1,求矩阵,的特征值和特征向量.
2、,求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤：,1.计算特征多项式,2.求出特征方程,的根,即为A的特征值,3.求方程组,的基础解系即为A的属于,特征值 的线性无关特征向量，基础解系的线性组合 即为全部特征向量.,例2,求矩阵,的特征值和特征向量.,例3,求矩阵,的特征值和特征向量.,注：比较例2和例3的结果可得如下结论： 属于某一特征值的线性无关的特征向量可能不止一个.,定理,设阶方阵 的特征值为,则,证明,当 是的特征值时，的特征多项,式可分解为,令,得,即,二、特征值和特征向量的性质,定理 一个n阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值.,证明,因为行列式,它的展开式中，主对角线上元素的乘积,是其中的
3、一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至,多含个主对角线上的元素，,含 的项只能在主对角线上元素的乘积项中,故有,比较，有,因此，特征多项式中,定义,方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的迹.,记为,推论,阶方阵可逆的个特征值全不为零.,若数为可逆阵的的特征值，则,特别,单位阵的一个特征值为,定理,三、应用举例,、若为可逆阵的特征值，则,的一个特征值为（ ）,、证阶方阵的满足 ，则的特征值为,或,、三阶方阵的三个特征值为、，则,（ ）,、求下列方阵的特征值与特征向量,四、特征向量的性质,定理,互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。,定理,互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征,向量并在一块
4、，所得的向量组仍然线性无关。,一 相似矩阵的定义、性质,二 矩阵可相似对角化的条件,三 应用举例,第二节 矩阵相似对角化,一、定义,定义,设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵，,使得,则称是的相似矩阵，或者说矩阵,与相似,称为对进行相似变换，,对进行运算,可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵,记作：,二、性质,（1） 反身性：,（2） 对称性：,（3） 传递性：,；,，则；,，则；,定理4.6,若阶矩阵与相似，则,推论,若阶矩阵与对角矩阵,相似，,（1）,（2）,与有相同的特征多项式和特征值,（3）,（4）,若能寻得相似变换矩阵使,对阶方阵，,称之为把方阵对角化,三、可相似对角化的条件,定理4.6的推论说
5、明，如果阶矩阵与对角矩阵相,似，,则的主对角线上的元素就是的全部特征值,设存在可逆，,使得,有,于是有,因为可逆，,故,关的特征向量。,反之，,即,设,可逆，且,则,若有个线性无关的特征向量,所以,即与对角矩阵相似,定理4.7,阶矩阵能与对角矩阵相似,有个线性无关的特征向量,推论,如果阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵,注意,的顺序一致,（1）,可相似对角化,（2）,因此也是不唯一的,（3）,所以如果不计,的排列顺序，,例1,设,问x为何值时，矩阵A可相似对角化？,例2,设,求,3.实对称矩阵的相似对角化,1.n元实向量的内积、施密特正交化方法、正交矩阵,2.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,第
6、三节 实对称矩阵的相似对角化,一、内积的定义与性质,1、定义,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有,、性质,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,当且仅当,时,推广性质：,、长度的概念,二、向量的长度与夹角,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别,长度为的向量称为单位向量.,定理4.10（Cauchy不等式）,任意两个n维实向量,恒有,等号成立当且仅当,线性相关.,（1）非负性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,、性质,注,当,时，,由非零向量得到单位向量,是的单位向量.,称为把单位化或标准化.,的过程,、夹角,设与为维空间的两
7、个非零向量，与的夹,角的余弦为,因此与的夹角为,例,解,练习,三、正交向量组及其求法,1、正交,注, 若 ，则与任何向量都正交., 对于非零向量与，,2、正交组,若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则,这个向量组称为正交向量组，简称正交组.,3、标准正交组,由单位向量组成的正交组称为标准正交组.,定理4.11,正交向量组必为线性无关组.,是标准正交向量组,例1 已知三元向量,试求一个非零向量,，使,称为正交向量组.,7、施密特（Schmidt）正交化法,1）正交化,令,将一组线性无关的向量组化为标准正交向量组.,就得到一个标准正交向量组.,上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.,
8、2）标准化,令,注,上述方法中的两个向量组对任意的,与,都是等价的.,例2 用施密特正交化方法将如下向量组,化为标准正交向量组.,四、正交矩阵及其性质,1、定义,如果阶矩阵满足：,则称为正交矩阵.,则,可表示为,若按列分块表示为,亦即,其中,的列（或行）向量组是标准正交组.,定理4.14 方阵A为正交矩阵的充要条件是,3、正交变换,若为正交矩阵，则线性变换=称为正交变换.,正交变换后向量长度不变,内积不变,注,夹角不变.,若A，B是正交矩阵，则,也是正交矩阵.,判断下列矩阵是否为正交矩阵.,定理4.15 实对称矩阵的特征值为实数.,定理4.16 实对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.,定理4.17 若阶实对称阵的 重特征值 对应的线性,无关的特征向量恰有 个（不证）,定理4.18 若为阶对称阵，则必有正交矩阵，使得,六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,推论,实对称矩阵的特征向量是实向量.,根据上述结论，利用正交矩阵可将实对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：,2.,1.,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,例4 设矩阵,求一个正交矩阵P，使得,为对角阵。,例5 设三阶对称矩阵A的特征值为1,2,3;矩阵A的属于 特征值1，2的特征向量分别为,（1）A的属于特征值3的特征向量。 （2）求矩阵A。,
