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1、曾经请同学们复习2-6章关于基本变形的论述，并自行总结： 1、轴向拉（压） 2、扭转 3、弯曲 4、剪切 这四种基本变形的： 内力的名称及符号、内力及内力图； 应力的计算公式和分布规律； 最大应力的公式和强度条件； 变形和应变的公式和刚度条件。,第8章 组 合 变 形,1.组合变形：,2.分类-两个平面弯曲的组合(斜弯曲) 拉伸(或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压 扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合,3.一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主， 其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。,一、概念,杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。,8-1
2、组合变形的概念,二、组合变形工程实例,烟囱， 传动轴 吊车梁的立柱,烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲,组合变形工程实例-以下是什么组合？,用强度准则进行强度计算,1.叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起的变形和内力彼此不受影响，可采用代数相加；,三、基本解法(叠加法),2.基本解法：,外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形,分别计算各基本变形下的内力及应力,将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面的危险点),对危险点进行应力分析(s1s2s3
3、),将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变 形下的内力和应力，然后进行应力叠加。,外力分解和简化。,内力分析确定危险面。,应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。,求解步骤,四、可行性,由力作用的独立性原理出发，在线弹性范围内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。,实验表明，在小变形情况下这个原理是足够精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和总变形。,重申基本研究步骤,1、分解：简化荷载：用静力等效的载荷，使每一组只引起一种基本变形。 2、分别计
4、算：按基本变形求解每组载荷作用下的应力、位移。 3、叠加：按叠加原理叠加求出组合变形的解。,平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。,斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为两个相互垂直平面内的弯曲）,8-2 非对称弯曲（斜弯曲）,当外力作用面不通过主惯性平面时,则弯曲变形后,梁 的轴线不在外力作用面内。,教材12-1,Fy,Fx,应力计算 中性轴的位置,斜弯曲荷载不作用在构件的纵向对称
5、面内， 梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。,矩形截面梁的斜弯曲,C,1、简化外力：,如何求C点的正应力？,2、按基本变形求各自应力：,C点总应力：,确定中性轴的位置,故中性轴的方程为,设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则由中性轴上,中性轴是一条通过截面形心的直线,中性轴,为中性轴与z轴夹角,中性轴,4）若截面为曲线周边时， 可作/于中性轴的切线， 切点为,y,z,注： 1）中性轴仍过截面形心； 2）中性轴把截面分为受拉、受压两个区域； 3）同一横截面上 发生在离中性轴最远处点D1、D2。,1）危险截面：当x=0时，,同时取最大,故固定端截面为危险面,2）危险点：危险截面上,点,强度
6、计算式：,强度计算,对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面，最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置，无需确定中性轴位置。,例1 矩形截面的悬臂梁受荷载如图示。试确定危险截面、危 险点所在位置；计算梁内最大正应力及AB段的中性轴位 置；若将截面改为直径 D=50mm 的圆形，试确定危险点 的位置，并计算最大正应力。,解（一）外力分析,梁在P1作用下绕z轴弯曲（平面弯曲），在P2作用下绕y轴弯曲（平面弯曲），故此梁的弯形为两个平面弯曲的组合斜弯曲。受力简图如图示。,例1图,受力简图,（二）内力分析,受力简图,分别绘出Mz(x)和My(x
7、)图如图示。两个平面内的最大 弯矩都发生在固定端A截面上，A截面为危险截面。,（三）应力分析和最大应力,绘出A截面的应力分布图，从应力分布图可看出a、b两点为最大拉应力和最大压应力点，即为危险点。,（四）计算中性轴位置及最大正应力,AB段中性轴与z轴的夹角为：（坐标原点可设在C截面处）,从上式可看出，中性轴位置在AB段内是随x的变化而变化的。在A截面处（x=1m），中性轴位置为：,解得： （见图）,如以合成后的总弯矩以矢量表示，中性轴与M的矢量不重合，说明荷载作用平面与中性轴不垂直，这是斜弯曲的特征之一。,（五）改为圆截面时的计算,合成后总变矩为：,此时Mz引起的最大拉应力 在图中a点；My引
8、起 的应力 在图中b点，显然将不同点处的应力进行相 加，作为该截面上的最大正应力是错误的。,容易出现的一种计算错误：,例：矩形截面木梁跨长l=3.6m,截面尺寸h/b=3/2,分布荷载集度q=0.96KN/m,试设计该梁的截面尺寸。许用应力,q,h,b,z,y,解: 跨中为危险截面,h/b=3/2,b=0.0876m, h=0.131m,可选b=90mm, h=135mm,请注意计算单位！,你知道危险点在何处吗？,斜弯曲梁的位移叠加法,总挠度：,大小为：,设总挠度与y轴夹角为 ：,一般情况下，,即挠曲线平面与荷载作用面不相重合，为斜弯曲， 而不是平面弯曲。,中性轴,8-3 轴向拉（压）与弯曲的
9、组合变形,+,弯曲,拉伸,1.求内力,2.求应力,3.建立强度条件,弯曲与拉伸（压缩）组合变形：当杆上的外力除横向力外，还受有轴向拉（压）力时，所发生的组合变形。,一、计算方法：,1.分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；,2.按叠加原理求正应力的代数和。,二、注意事项：,1.如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算。,2.如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则轴向力在横截面上引起附加弯矩DM=Pw亦不能忽略，这时叠加法不能使用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。,这种情况称为
10、纵横弯曲，可参看9-7。,例 图示起重机的最大吊重P=12kN，材料许用应力s=100MPa，试为AB杆选择适当的工字梁。,解：(1)根据AB杆的受力简图，由平衡条件，得：,(2)作AB杆的弯矩图和轴力图：,C点左截面上，弯矩为极值而轴力与其它截面相同，故为危险截面。,(3)计算时暂不考虑轴力影响，只按弯曲正应力强度条件确定工字梁的抗弯截面模量，有：,(4)查型钢表，选取W=141cm3的16号工字梁，然后按压弯组合变形进行校核。易知，在C截面下缘的压应力最大，且有：,最大压应力小于许用应力，选取16号工字梁是合适的。,例 图示压力机，最大压力P=1400kN，机架用铸铁作成，许用拉应力sL=
11、35MPa，许用压应力sy=140MPa，试校核该压力机立柱部分的强度。立柱截面的几何性质如下：yc=200mm，h=700mm，A=1.8105mm2，Iz=8.0109mm4。,在偏心拉力P作用下横截面上的内力及各自产生的应力如图：最大组合正应力发生在截面内、外侧边缘a、b处，其值分别为,解：由图可见，载荷P偏离立柱轴线，其偏心距为： e=yc+500=200+500=700mm。,可见，立柱符合强度要求。,例 图示压力机，最大压力P=1400kN，机架用铸铁作成，许用拉应力sL=35MPa，许用压应力sy=140MPa，试校核该压力机立柱部分的强度。立柱截面的几何性质如下：yc=200m
12、m，h=700mm，A=1.8105mm2，Iz=8.0109mm4。,解：,位置？,例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力和最大压应力 。,例：三角架如图示，在AB杆端点受集中荷载P=8KN，若AB杆横截面为工字钢，试选择其型号。许用应力,解:,研究AB,作AB内力图,12KNm,M 图,22.17KN,C稍左截面弯矩、轴力均最大,危险截面,12KNm,M 图,试算法,选18号工字钢,代入上式,强度足够,选16号工字钢,符合要求,8-4 偏心拉伸（压缩） 截面核心,1、偏心压缩,最大压应力点：右上角,最大拉应力点（如存在）：左下角,1.构件外力与轴线平
13、行但不与轴线重合时，即为偏心拉伸或压缩。,2.横截面上任意点B的应力：,1.构件外力与轴线平行但不与轴线重合时，即为偏心拉伸或压缩。,2.横截面上任意点B的应力：,对于受偏心压缩的短柱，y、z轴为形心主惯性轴，P作用点坐标为yP、zP，将P向形心简化，则各内力在(y,z)点引起的应力分别为：,负号表示为压应力；,组合应力：,式中：,截面对z、y轴的惯性半径。,3.中性轴方程：,利用中性轴处的正应力为零，得中性轴方程y0=f(z0)为：,直线方程,中性轴在y、z轴上的截距分别为：,1)ay、az分别与yP、zP符号相反，故中性轴与偏心压力P的作用点位于截面形心的两侧。,2)中性轴将截面分成两个区
14、，压力P所在区受压，另一区受拉。在截面周边上，D1和D2两点切线平行于中性轴，它们是离中性轴最远的点，应力取极值。,例：图示钢板受集中力P=128KN作用，当板在一侧切去深4cm的缺口时，求缺口截面的最大正应力？若在板两侧各切去深4cm的缺口时，缺口截面的最大正应力为多少?(不考虑应力集中),10,360,解:,1、一侧开口时是偏心拉伸，即轴向拉伸与弯曲的组合,40MPa,15MPa,2、两侧开口时是轴向拉伸,360,10,本题中：两侧开口好于一侧开口，为什么？,例 图示一夹具。在夹紧零件时，夹具受到的外力为P2kN。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为e=60mm，竖杆横截面的尺寸为b
15、=10mm，h=22mm，材料的许用应力170MPa。试校核此夹具竖杆的强度。,解：对于夹具的竖杆，P力是一对偏心拉力。 对竖杆的作用相当于图b中所示的一对轴向拉力P和一对在竖杆的纵向对称平面内的力偶；拉伸和弯曲的组合变形。,竖杆的危险点在横截面的内侧边缘处。都是拉应力。危险点处的正应力为:,强度条件满足，所以竖杆在强度上是安全的。,2.研究意义：,工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要求构件横截面上不出现拉应力；,地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基。,3.求截面核心方法：,基本方法：将截面周界上一系列点的切线作为中性轴，反求出相应压力P作用点位置，其连线即为截面核心的周界。设y、z轴为形心主惯性轴，周界某一点切线为中性轴时，在y、z轴上的截距分别为ay、az，则压力P作用点坐标为：,1.定义：当压力P作用在截面的某个区域内时，整个截面上只产生压应力，该区域通常就称为截面核心。,特殊情况：,截面核心的概念,4.例题：求矩形截面的截面核心。,解（1）中性轴在位置时，有截矩ay=h/2，az=：,则压力作用点的坐标1(-h/6,0)。,同理可求中性轴所对应的压力作用点2(0,b/6)；,中性轴所对应的压力作用点3(h/6,0)；,中性轴所对应的压力作用点4(0,-b/6)。,1)截面周界有直线段时，对应的压力作用点只是一点； 2)截面周界有棱角时，对应压力
