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1、School of Statistics, Renmin University of China1 统 计 学 基 础统 计 学 基 础 第九讲：方差分析第九讲：方差分析 甄峰 中国人民大学统计学院 甄峰 中国人民大学统计学院 2015年年4月月 School of Statistics, Renmin University of China2 学习目标 理解方差分析的思想和原理 熟悉方差分析中的基本假设 运用单因素方差分析和双因素方差分析 School of Statistics, Renmin University of China3 方差分析的基本概念方差分析的基本概念 单因素方差分析
2、双因素方差分析 内容 School of Statistics, Renmin University of China4 1.1 一个例题 为减小失业保险支出、促进就业，政府试图为失业者提供 再就业奖励：如果失业者可以在限定的时间内重新就业， 他将可以获得一定数额的奖金。政策会有效吗？ 奖励政策是否有效? ? 不同奖金下失业时间是否相同? 奖励政策是否有效? ? 不同奖金下失业时间是否相同? 总体总体1，1 （奖金（奖金=1） 总体总体2，2 （奖金（奖金=2） 总体总体3，3 （奖金（奖金=3） 样本样本1样本样本2样本样本3样本样本4 总体总体4，4 （奖金（奖金=4） 2 11, s x
3、 2 22, s x 2 33, s x 2 44, s x ? 4321 = School of Statistics, Renmin University of China5 4321 奖金水平奖金水平 110 100 90 80 70 失 业 时 间 失 业 时 间 1.1 一个例题 1=无奖金 2=低奖金 3=中奖金 4=高奖金 根据实验结果，可以认为各总体的平均失业时间相同吗？ School of Statistics, Renmin University of China6 1.1 一个例题 已有思路： 用t检验比较两个均值： 每次只能比较两个均值 要解决上述问题需要进行6次次t检
4、验 在整体检验中犯第一类错误的概率显著增加： 如果在每次t检验中犯第一类错误的概率等于5%，则在整 体检验中等于1-(1-0.05)6=0.2649 School of Statistics, Renmin University of China7 1.1 一个例题 方差分析方差分析（Analysis of variance，ANOVA）：通过对方差的 比较来检验多个均值之间差异的显著性 可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时与t检验等价 20世纪20年代由英国统计学家R. A. Fisher最早提出的，开始 应用于生物和农业田间试验，以后在许多学科中得到了广 泛应用 School of St
5、atistics, Renmin University of China8 1.2 基本概念 因变量因变量：要检验的变量，我们实际测量的、作为结果的变 量，如失业持续时间。 自变量自变量：作为原因的、把观测结果分组以进行比较的变 量，例如奖金水平。 在方差分析中，自变量也被称为因素因素(factor) 。 因素的不同表现，即每个自变量的不同取值称为因素的水平 或处理处理(treatment) 。 School of Statistics, Renmin University of China9 如：检验4种服务性行业的服务质量 因变量：投诉次数 自变量（因素）：零售、旅游、航空、家电 如：检验
6、不同温度下实验结果的差别 因变量：实验结果（如结晶率） 自变量：20oC、 40oC、 60oC、 80oC treatment 1.2 基本概念 School of Statistics, Renmin University of China10 方差分析主要用来研究一个定量因变量一个定量因变量与一个或多个定 性自变量 一个或多个定 性自变量的关系 只有一个自变量的方差分析称为单因素方差分析单因素方差分析 研究多个因素对因变量的影响的方差分析称为多因素方 差分析，其中最简单的情况是双因素方差分析双因素方差分析 1.2 基本概念 School of Statistics, Renmin Uni
7、versity of China11 1.3 固定效应与随机效应 固定效应模型固定效应模型：因素的所有水平都是由实验者审慎安排而 不是随机选择的 （指定检验4组奖金水平） 随机效应模型随机效应模型：因素的水平是从多个可能的水平中随机选 择的 （随机检验多组奖金水平中的3个） 固定效应和随机效应模型在假设的设置和参数估计上有所 差异，本章研究的都是固定效应模型 School of Statistics, Renmin University of China12 1.4 基本假定 在各个总体中因变量都服从正态分布 因素的每一个水平，观察值是正态分布总体的简单随机样本（失 业时间） 在各个总体中因变
8、量的方差都相等 各组观察数据从具有相同方差的总体中抽取的 （4种奖金下的失业时间方差相同） 各个观测值之间相互独立 每种奖金下，每个人的失业时间长短相互独立的 实质：检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等 School of Statistics, Renmin University of China13 1.5 一般提法 设因素有r个水平，每个水平的均值分别用1, 2, , r表 示；（每个水平下有mj个观察，j=1,2,r） 要检验个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设： 0：1=2= =r 1：1, 2, , r不全相等不全相等 设1、2、3、4为无奖金、低奖金、中奖金和高奖
9、金下平 均实业时间， 0：1=2=3=4 1：1, 2, 3, 4 不全相等 School of Statistics, Renmin University of China14 1.6 检验是否符合假定：正态分布 各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， K-S检验* School of Statistics, Renmin University of China15 1.6 检验是否符合假定：同方差 经验方法：计算各组数据 的标准差，如果最大值与 最小值的比小于2:1，则可 认为是同方差的。 最大值和最小值的比例等 于1.83=FF 05. 00433. 0=3.32 p-值=0.
10、0002=tt 2.7 方差分析中的多重比较 School of Statistics, Renmin University of China39 热带雨林例子结果（两两比较） 置信区间5.3114.03，3.2612.68不包括0，差异显著 置信区间-6.043.02包括了0，差异不显著 6.40-3.020.46822.311.691年前采伐过 -3.26-12.680.00172.31-7.97 从未采伐过 8年前采伐过 3.02-6.400.46822.31-1.698年前采伐过 -5.31-14.030.00012.14-9.67 从未采伐过 1年前采伐过 12.683.260.00
11、172.317.978年前采伐过 14.035.310.00012.149.671年前采伐过 从未采伐过 上限下限 95% 置信区间 p-值 标准 误 均值差 (I-J) (J) 采伐类型(I) 采伐类型 2.7 方差分析中的多重比较 School of Statistics, Renmin University of China40 2.8 软件操作 EXCEL 第1步：选择“工具 ”下拉菜单 第2步：选择【数据分析】选项 第3步：在分析工具中选择【单因素方差分析】?【确定】 第4步：当对话框出现时 在【输入区域 】方框内键入数据单元格区域 在【】方框内键入0.05(可根据需要确定) 在【输
12、出选项 】中选择输出区域 School of Statistics, Renmin University of China41 SPSS 【Analyze-Compare Means】，并选择【】，并选择【One-Way-ANOVA】 2.8 软件操作 School of Statistics, Renmin University of China42 方差分析的基本概念 单因素方差分析 双因素方差分析双因素方差分析 内容 School of Statistics, Renmin University of China43 3.1交互作用 一个因素对因变量的影响程度受另一个因素的影响的情况 假
13、设学生分两类：在校和在职，把两类学生随机分成两 组，分别采用课堂讲授和交互式教学方法，考试结果如下 可见课堂讲授的方式更适合于在校生，交互式教学方式更 适合于在职生。在这种情况下我们说两个因素之间存在着 交互作用。（实际需要检验） 9050在职学生 5090在校学生 交互式教学课堂讲授 School of Statistics, Renmin University of China44 路段与时段对行车时间的影响 交互作用无交互作用交互作用无交互作用 行车时间 路段1路段2 高峰期 非高峰期 行车时间 路段1路段2 高峰期 非高峰期 3.1交互作用 School of Statistics,
14、Renmin University of China45 双因素方差分析中因素A和B对结果的影响相互独立时称为 无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析 如果除了A和B对结果的单独影响外还存在交互作用，这时 的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析有交互作用的双因素方差分析 双因素方差分析中的基本假设是各个子总体都服从正态分 布，有相同的方差，并且各个观测值之间相互独立（与单 因素时相同） 3.2 双因素方差分析的类型和假定 School of Statistics, Renmin University of China46 3.3 数据 323 333 308 298 地区
15、地区5地区地区4地区地区3地区地区2地区地区1 340 330 343 260 343 363 353 298 350 368 323 280 365 345 358 288 品牌品牌1 品牌品牌2 品牌品牌3 品牌品牌4 地区因素 品牌因素 不同品牌的彩电在各地区的销售量数据 地区因素 品牌因素 不同品牌的彩电在各地区的销售量数据 * 分别从横向或纵向看，即单因素数据结构。 School of Statistics, Renmin University of China47 3.3 数据 School of Statistics, Renmin University of China48 3
16、.4 无交互作用的双因素方差分析模型 在无交互作用的双因素方差分析模型中因变量的取值受四 个因素的影响：总体的平均值；因素A导致的差异；因素B 导致的差异；以及误差项。写成模型的形式就是： ijkiiij X+= School of Statistics, Renmin University of China49 行因素和列因素外的剩余 3.4 无交互作用的双因素方差分析模型 离差平方和的分解： SSASSBSSE SST R：行 S：列 2 11 22 11 2 11 () ()() () rs ij ij rs ij ij rs ijij ij SSTXX sXXrXX XXXX SSASSBS
