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1、第二节平面向量的基本定理及坐标表示A组基础题组1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量12a-32b等于() A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1).若(a+kb)c,则实数k的值为()A.2B.12C.114D.-1143.若,是一组基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底、下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0
2、,2)4.(2016河北石家庄一模)A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合),若OC=OA+OB(,R),则+的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+)C.(1,2D.(-1,0)5.(2015枣庄模拟)在ABCD中,AC为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则向量BD的坐标为.6.P=a|a=(-1,1)+m(1,2),mR,Q=b|b=(1,-2)+n(2,3),nR是两个向量集合,则PQ等于.7.如图,已知ABCD的边BC,CD上的中点分别是M,N,且AM=e1,AN=e2,若BC=xe2+ye1(x,yR),则x+y=.8.如图,在梯形
3、ABCD中,ADBC,且AD=13BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设BA=a,BC=b,试用a,b为基底表示向量EF,DF,CD.9.已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值?B组提升题组10.在ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是() A.0,12B.0,13C.-12,0D.-13,011.(2016河南中原名校3月联考)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E
4、为BC边上一点,BC=3EC,F为AE的中点,则BF=()A.23AB-13ADB.13AB-23ADC.-23AB+13ADD.-13AB+23AD12.(2016安徽十校3月联考)已知A、B、C三点不共线,且AD=-13AB+2AC,则SABDSACD=()A.23B.32C.6D.16来源:学科网ZXXK13.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是.14.如图,G是ABO的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.设OP=xOA,OQ=yOB,则1x+1y=.15.已知三点A(a,
5、0),B(0,b),C(2,2),其中a0,b0.(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值;(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.答案全解全析A组基础题组1.D12a-32b=12(1,1)-32(1,-1)=(-1,2).故选D.2.B由题意知,a+kb=(2,-1)+k(1,1)=(k+2,k-1),由(a+kb)c,得-5(k-1)=k+2,解得k=12,故选B.3.D由已知可得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设a=xm+yn,则(2,4)=x(-1,1)+y(1,2)=(-x+y,x+2y),-x+y=2,x+2y=4,解得x
6、=0,y=2.故选D.4.B设OC=mOD(m1),因为OC=OA+OB,所以mOD=OA+OB,即OD=mOA+mOB,又A,B,D三点共线,所以m+m=1,即+=m,所以+1,故选B.5.答案(-3,-5)解析设AD=(x,y),因为AC=AB+AD,所以(1,3)=(2,4)+(x,y),所以1=2+x,3=4+y,即x=-1,y=-1,所以AD=(-1,-1),所以BD=AD-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).6.答案(-13,-23)解析P中,a=(-1+m,1+2m),Q中,b=(1+2n,-2+3n).令-1+m=1+2n,1+2m=-2+3n,得m=-12,n=
7、-7.此时a=b=(-13,-23),故PQ=(-13,-23).7.答案23解析设AD=a,AB=b,则BC=a,CD=-b.由题意得e1=b+a2,e2=a+b2,解得a=43e2-23e1,b=43e1-23e2.BC=43e2-23e1.故x=43,y=-23,x+y=23.8.解析EF=EA+AB+BF=-16b-a+12b=13b-a,DF=DE+EF=-16b+13b-a=16b-a,CD=CF+FD=-12b-16b-a=a-23b.9.解析(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).若ka-b与a+2b共线,则2
8、(k-2)-(-1)5=0,即2k-4+5=0,得k=-12.(2)A,B,C三点共线,AB=BC(R).即2a+3b=(a+mb),2=,3=m,m=32.B组提升题组10.D解法一:依题意,设BO=BC,其中143,则有AO=AB+BO=AB+BC=AB+(AC-AB)=(1-)AB+AC.又AO=xAB+(1-x)AC,且AB、AC不共线,于是有x=1-13,0,即x的取值范围是-13,0,选D.解法二:AO=xAB+AC-xAC,AO-AC=x(AB-AC),即CO=xCB=-3xCD,O在线段CD(不含C、D两点)上,0-3x1,-13x0.11.C解法一:如图,取AB的中点G,连接
9、DG,CG,则易知四边形DCBG为平行四边形,所以BC=GD=AD-AG=AD-12AB,AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23AD-12AB=23AB+23AD,于是BF=AF-AB=12AE-AB=1223AB+23AD-AB=-23AB+13AD,故选C.解法二:BF=BA+AF=BA+12AE=-AB+12AD+12AB+CE来源:Zxxk.Com=-AB+12AD+12AB+13CB=-AB+12AD+14AB+16(CD+DA+AB)=-23AB+13AD.12.C如图,取AM=-13AB,AN=2AC,以AM,AN为邻边作平行四边形AMDN,此时AD=-13AB+2AC.由
10、图可知SABD=3SAMD,SACD=12SAND,又SAMD=SAND,SABDSACD=6,故选C.13.答案k1解析若点A,B,C能构成三角形,则向量AB,AC不共线,AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(k+1,k-2)-(1,-3),=(k,k+1),1(k+1)-2k0,解得k1.14.答案3解析设PG=PQ,则OG=OP+PG=OP+PQ=OP+(OQ-OP)=(1-)OP+OQ=(1-)xOA+yOB,G是OAB的重心,OG=23OM=2312(OA+OB)=13OA+13OB.OA,OB不共线,由得(1-)x=13,y=13.1x=3-
11、3,1y=3.1x+1y=3.15.解析(1)因为四边形OACB是平行四边形,所以OA=BC,即(a,0)=(2,2-b),所以a=2,2-b=0,解得a=2,b=2.故a=2,b=2.(2)因为AB=(-a,b),BC=(2,2-b),由A,B,C三点共线,得ABBC,所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,所以2(a+b)=aba+b22,即(a+b)2-8(a+b)0,解得a+b8或a+b0(不合题意,舍去).所以a+b的最小值是8(当且仅当a=b=4时,a+b取最小值).旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。7
