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1、第二节平面向量基本定理及坐标表示A组基础题组1.(2015课标,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4) B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)2.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2 B.3 C.4D.63.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=()A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)4.已知在ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则AM=()A
2、.-12,-6B.-12,6C.12,-6D.12,65.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点且AOC=4,|OC|=2,若OC=OA+OB,则+=()A.22B.2C.2D.426.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1).若(a+kb)c,则实数k的值为.7.已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.8.如图,已知点A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐
3、标.B组提升题组9.若,是一组基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底、下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)10.在ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是()A.0,12 B.0,13C.-12,0D.-13,011.在梯形ABCD中,已知ABCD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若AB=AM+AN,则+
4、=.12.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=a+b(,R),则=.13.已知向量AC,AD和AB在正方形网格中的位置如图所示,若AC=AB+AD,则=.14.P=a|a=(-1,1)+m(1,2),mR,Q=b|b=(1,-2)+n(2,3),nR是两个向量集合,则PQ等于.15.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为23,如图所示.点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若OC=xOA+yOB,其中x,yR,求x+y的最大值.答案全解全析A组基础题组1.A根据题意得AB=(3,1),BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.2.Ba与b共线,
5、26=4x,x=3,故选B.3.A由题意可得3a-2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以23+x=0,12+y=0,解得x=-23,y=-12,所以c=(-23,-12).4.B因为在ABCD中,有AC=AB+AD,AM=12AC,所以AM=12(AB+AD)=12(-1,12)=-12,6.故选B.5.A因为C为第一象限内一点且|OC|=2,AOC=4,所以C(2,2),又OC=OA+OB,所以(2,2)=(1,0)+(0,1)=(,),所以=2,+=22.6.答案12解析由题意知,a+kb=(2,-1)+k(1,1)=(k+2,k-1),由(a+kb)c,得-5(k-1)=k+
6、2,解得k=12.7.解析(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).ka-b与a+2b共线,2(k-2)-(-1)5=0,即2k-4+5=0,得k=-12.(2)A,B,C三点共线,AB=BC(R).即2a+3b=(a+mb),2=,3=m,m=32.8.解析以A,B,C为顶点的平行四边形可以有三种情况:ABCD;ADBC;ABDC.设D的坐标为(x,y).若是ABCD,则由AB=DC,得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y),-1-x=-1,-2-y=2,x=0,y=-4.D
7、点的坐标为(0,-4)(如图中所示的D1).若是ADBC,则由CB=AD,得(0,2)-(-1,-2)=(x,y)-(1,0),即(1,4)=(x-1,y),解得x=2,y=4.D点的坐标为(2,4)(如图中所示的D2).若是ABDC,则由AB=CD,得(0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2),解得x=-2,y=0.D点的坐标为(-2,0)(如图中所示的D3).以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0).B组提升题组9.D由已知可得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设a=xm+y
8、n,则(2,4)=x(-1,1)+y(1,2)=(-x+y,x+2y),-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2.故选D.10.D解法一:依题意,设BO=BC,其中143,则有AO=AB+BO=AB+BC=AB+(AC-AB)=(1-)AB+AC.又AO=xAB+(1-x)AC,且AB、AC不共线,于是有x=1-13,0,即x的取值范围是-13,0,选D.解法二:AO=xAB+AC-xAC,AO-AC=x(AB-AC),即CO=xCB=-3xCD,O在线段CD(不含C、D两点)上,0-3x1,-13x0.11.答案45解析解法一:连接AC.由AB=AM+AN,得AB=12(AD+AC)+
9、12(AC+AB),则2-1AB+2AD+2+2AC=0,得2-1AB+2AD+2+2AD+12AB=0,得14+34-1AB+2AD=0.又因为AB,AD不共线,所以由平面向量基本定理得14+34-1=0,+2=0,解得=-45,=85.所以+=45.解法二:(回路法)连接MN并延长交AB的延长线于T,由已知易得AB=45AT,45AT=AB=AM+AN,即AT=54AM+54AN,T,M,N三点共线,54+54=1,+=45.12.答案4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=AO=(-1
10、,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3).由c=a+b可得-1=-+6,-3=+2,解得=-2,=-12,所以=4.13.答案-3解析建立如图所示的平面直角坐标系xAy,则AC=(2,-2),AB=(1,2),AD=(1,0),由题意可知(2,-2)=(1,2)+(1,0),即2=+,-2=2,解得=-1,=3,所以=-3.14.答案(-13,-23)解析P中,a=(-1+m,1+2m),Q中,b=(1+2n,-2+3n).令-1+m=1+2n,1+2m=-2+3n,得m=-12,n=-7.此时a=b=(-13,-23),故PQ=(-13,-23).15.解析解法一:如图,以O为
11、坐标原点,OA所在的直线为x轴,OA的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,则可知A(1,0),B-12,32,设C(cos ,sin )0,23,则有x=cos +33sin ,y=233sin ,所以x+y=cos +3sin =2sin+6,所以当=3时,x+y取得最大值2.解法二:如图,连接AB,记OC交AB于D点.则OC=|OC|OD|OD=xOA+yOB,D,A,B三点共线,x+y=|OC|OD|=1|OD|,(x+y)max=1|OD|min=112=2.旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。7
