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1、第一节平面向量的概念及其线性运算A组基础题组1.已知向量a,b不共线,c=ka+b(kR),d=a-b.如果cd,那么() A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向2.(2016武汉武昌调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM3.如图,已知AB是圆O的直径,点C、D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b4.(2016日照模拟)在ABC中,P是BC边的中点,
2、角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cAC+aPA+bPB=0,则ABC的形状为()A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形5.下列四个结论:AB+BC+CA=0;AB+MB+BO+OM=0;AB-AC+BD-CD=0;NQ+QP+MN-MP=0,其中正确的结论个数是()A.1B.2C.3D.46.在平行四边形ABCD中,若|AB+AD|=|AB-AD|,则四边形ABCD的形状为.7.(2016内蒙古包头九中期中)如图,在ABC中,AHBC于H,M为AH的中点,若AM=AB+AC,则+=.8.如图,在梯形ABCD中,AB=2DC,M,N分别是DC,AB的中点.若AB=e1,A
3、D=e2,用e1,e2表示DC,BC,MN.9.设e1,e2是两个不共线向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线;(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.B组提升题组10.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若EF=mAB+nAD(m,nR),则mn的值为() A.-12B.-2C.2 D.1211.(2017甘肃兰州二中月考)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,0,+),则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心
4、C.重心D.垂心12.ABC所在的平面内有一点P,满足PA+PB+PC=AB,则PBC与ABC的面积之比是.13.在直角梯形ABCD中,A=90,B=30,AB=23,BC=2,点E在线段CD上,若AE=AD+AB,则的取值范围是.14.如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n的值为.15.已知P为ABC内一点,且3AP+4BP+5CP=0,延长AP交BC于点D,若AB=a,AC=b,用a、b表示向量AP、AD.16.如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.(1
5、)用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线.答案全解全析A组基础题组1.Dcd,c=d(R),即ka+b=(a-b),k=,=-1.k=-1,则c=b-a,故c与d反向.2.DOA+OB+OC+OD=(OA+OC)+(OB+OD)=2OM+2OM=4OM.故选D.3.D连接CD,由点C、D是半圆弧的三等分点,得CDAB且CD=12AB=12a,所以AD=AC+CD=b+12a.4.A如图,由cAC+aPA+bPB=0知,c(PC-PA)+aPA-bPC=(a-c)PA+(c-b)PC=0,而PA与PC为不共线向量,a-c=c-b=0,a=b=c,故ABC是等
6、边三角形.5.CAB+BC+CA=AC+CA=0,正确;AB+MB+BO+OM=AB+MO+OM=AB,错;AB-AC+BD-CD=CB+BD+DC=CB+BC=0,正确;NQ+QP+MN-MP=NP+PN=0,正确.故正确.6.答案矩形解析如图,AB+AD=AC,AB-AD=DB,所以|AC|=|DB|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知,四边形ABCD是矩形.7.答案12解析设BH=xCB,AM=12(AB+BH)=12AB+x(AB-AC)=12(1+x)AB-xAC,且AM=AB+AC,1+x=2,-x=2,+=12.8.解析DC=12AB=12e1;BC=BA+AC=-AB+AC=A
7、D+DC-AB=AD-12AB=e2-12e1;MN=MD+DA+AN=-14AB-AD+12AB=14AB-AD=14e1-e2.9.解析(1)证明:由已知得BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因为AB=2e1-8e2,所以AB=2BD,又AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)由(1)知BD=e1-4e2,又因为B,D,F三点共线,所以存在实数,使得BF=BD,所以3e1-ke2=e1-4e2,得=3,-k=-4,解得k=12.B组提升题组10.B易知AEBC=EFFB=12,EF=13EB,EF=13EB=13(EA+AB)=1312DA+AB
8、=16DA+13AB=13AB-16AD,m=13,n=-16,mn=-2.11.B由OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,知OP-OA=AB|AB|+AC|AC|,即AP=AB|AB|+AC|AC|,P在BAC的平分线上,故点P的轨迹一定通过ABC的内心.12.答案23解析因为PA+PB+PC=AB,所以PA+PB+PC=PB-PA,所以PC=-2PA=2AP,即P是AC边的一个三等分点,且PC=23AC,由三角形的面积公式可知,SPBCSABC=PCAC=23.13.答案0,12解析由题意易得AD=1,CD=3,所以AB=2DC,因为点E在线段CD上,所以设DE=DC(01),当=0时,
9、点E与点D重合,此时AE=AD,则=0;当01时,AE=AD+AB=AD+2DC=AD+2DE,又因为AE=AD+DE,所以2=1,即=12,所以012.综上,012.14.答案2解析连接AO,O是BC的中点,AO=12(AB+AC).又AB=mAM,AC=nAN,AO=m2AM+n2AN.M、O、N三点共线,m2+n2=1.m+n=2.15.解析BP=AP-AB=AP-a,CP=AP-AC=AP-b,3AP+4BP+5CP=0,3AP+4(AP-a)+5(AP-b)=0,AP=13a+512b.设AD=tAP(tR),则AD=13ta+512tb.又设BD=kBC(kR),由BC=AC-AB
10、=b-a,得BD=k(b-a).而AD=AB+BD=a+BD.AD=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.由得13t=1-k,512t=k,解得t=43.代入得AD=49a+59b.AP=13a+512b,AD=49a+59b.16.解析(1)由已知可得AD=12(AB+AC)=12(a+b).AE=23AD=2312(a+b)=13(a+b),AF=12AC=12b,BE=AE-AB=13(a+b)-a=13b-23a,BF=AF-AB=12b-a.(2)证明:由BE=13b-23a,BF=12b-a,得BE=23BF,又BE,BF有公共点B,故B,E,F三点共线.旅游经济价值的大小很大程度上取决于它们与旅游消费市场经济发达地区的距离，经济距离越长，旅游者对旅游目的地的需求越低；靠近发达地区的旅游资源，其开发价值要优于远离发达区的旅游资源。7
